the birth of the algorithm
AI 39年（公元1995年），扁鹊成立了一家专治某疑难杂症的医院，经过半年的精心筹备，硬件设施已全部到位，只缺经验丰富的医生前来坐诊。找几个猎头打听了一下，乖乖，请一个资深专家（总监头衔的），一年的工资就得250万。这恐怕还不够去知名搜索引擎投放广告！
穷则思变，扁鹊院长想来想去，找到了两个天才的顾问，名叫Freund和Schapire，想请他们出出主意，怎样用较低的成本解决医生的问题。这两位老兄想到了同一个点子：
三个臭皮匠，赛过诸葛亮
我们玩人海战术！不如去医学院招一批应届生，给他们训练一段时间然后上岗，组成一个会诊小组，一起来给病人看病，集体决策。扁鹊很快招来了8个年轻的新手：
赵大夫，钱大夫，孙大夫，李大夫，周大夫，吴大夫，郑大夫，王大夫
怎么训练这些新人呢？两个顾问设计出了一套培训方案：
1.用大量的病例让这些新手依次学习，每个大夫自己琢磨怎样诊断，学习结束后统计一下每个人在这些病例上的诊断准确率
2.训练时，前面的大夫误诊的病例，后面的大夫要重点学习研究，所谓查缺补漏
3.训练结束之后，给每个大夫打分，如果一个大夫对病例学习的越好，也就是说在这些学习的病例集上诊断的准确率越高，他在后面诊断病人时的话语权就越大
扁鹊院长跑到其他医院买回了1万个病例，这些病例是这样的：
接下来培训过程开始了。首先接受培训的是赵大夫，经过学习总结，他摸索出了一套诊断规则，这套规则表现很不错，至少在学习用的病例集上，达到了70%的诊断准确率。学习完成之后，他给每一条病例调整了权重，被他误诊的病例，权重增大，诊断正确的病例，权重调小，以便于后面的医生有重点的学习。
接下来让钱大夫学习，他同样学习这些病例，但重点要关注被赵大夫误诊的那些病例，经过一番训练，钱大夫达到了75%的准确率。学习完之后，他也调整了这些病例的权重，被他误诊的病例，加大权重，否则减小权重。
后面的过程和前面类似，依次训练孙大夫，李大夫，周大夫，吴大夫，郑大夫，王大夫，每个大夫在学习的时候重点关注被前面的大夫误诊的病例，学习完之后调整每条病例的权重。这样到最后，王大夫对前面这些大夫都误诊的病例特别擅长，专攻这些情况的疑难杂症！
学习期结束之后，扁鹊院长汇总出了这8个大夫的诊断准确率：
当所有大夫都培训完成之后，就可以让他们一起坐堂问诊了。Freund和Schapire设计出了这样一套诊断规则：来一个病人之后，8个大夫一起诊断，然后投票。如果一个大夫之前在学习时的诊断准确率为p，他在投票时的话语权是：
后面Freund和Schapire会解释这个规则的来由。按照这个计算规则，8个大夫的话语权为：
这样诊断结果的计算方法为，先汇总整合8个大夫的诊断结果：
在这里对病人的诊断结果有两种可能，阳性和阴性，我们量化表示，+1表示阳性，-1表示阴性。
最后的诊断结果是：如果上面计算出来的s值大于0，则认为是阳性，否则为阴性。
第一个病人来了，8个大夫一番诊断之后，各自给出了结果：
现在是投票集体决策的时候了。投票值为：
按照规则，这个病人被判定为阳性。医院运营了3个月，效果出奇的好，扁鹊院长统计了一下，诊断准确率居然高达95%，不比一个资深老专家差！每个医生一年的工资10万，8个医生总共才80万，这比请一个资深专家要便宜170万，太划算了！
这次成功之后，Freund和Schapire决定把这种方法推广到其他行业，用于解决一些实际问题。这些行业要解决的问题都有一个特点：要做出一个决策，这个决策有两种可能，例如银行要根据客户的收入、负债情况、信用记录等信息决定给客户贷款还是不贷款；人脸识别公司要判断一张图像是人脸还是不是人脸。这就是机器学习中的二分类问题，给定一个样本数据，判断这个样本的类别。对于上面的疾病诊断来说，样本数据就是病人的各项检查数据，类别是阴性和阳性。两位天才给这种方法取了一个名字：
AdaBoost算法
集成学习
AdaBoost算法是一种集成学习（ensemble learning）方法。集成学习是机器学习中的一类方法，它对多个机器学习模型进行组合形成一个精度更高的模型，参与组合的模型称为弱学习器（weak learner）。在预测时使用这些弱学习器模型联合起来进行预测；训练时需要用训练样本集依次训练出这些弱学习器。典型的集成学习算法是随机森林和boosting算法，而AdaBoost算法是boosting算法的一种实现版本。
强分类器与弱分类器
AdaBoost算法的全称是自适应boosting（Adaptive Boosting），是一种用于二分类问题的算法，它用弱分类器的线性组合来构造强分类器，可以看成是前面介绍的新手大夫会诊例子的抽象。
弱分类器的性能不用太好，仅比随机猜测强，依靠它们可以构造出一个非常准确的强分类器。强分类器的计算公式为：
其中x是输入向量，F (x)是强分类器，ft (x)是弱分类器，αt是弱分类器的权重，T为弱分类器的数量，弱分类器的输出值为+1或-1，分别对应正样本和负样本。这里的弱分类器就是上面的8位医生，强分类器代表他们的集体决策。弱分类器的结果就是前面例子中每个医生的诊断结果，如果一个医生的判定结果为+1，表示病人为阳性，-1则为阴性。
分类时的判定规则为：
其中sgn是符号函数，是机器学习中经常会使用的一个函数，定义为：
强分类器的输出值也为+1或-1，同样对应于正样本和负样本，也就是医生集体会诊的结果。这里的强分类器模型就是这就是上面的诊断规则的抽象化。弱分类器和它们的权重通过训练算法得到，后面我们会介绍。之所以叫弱分类器，是因为它们的精度不用太高，对于二分类问题，只要保证准确率大于0.5即可，即比随机猜测强，随机猜测也有50%的准确率。在上面的例子中，即使每个医生的准确率只有60%-75%，集体决策的准确率仍然能够达到95%以上。这种看似简单的组合，能够带来算法精度上的大幅度提升。
训练算法
下面来看AdaBoost算法的模型是怎么训练出来的，这是训练8位医生过程的抽象。算法依次训练每一个弱分类器，并确定它们的权重值。
在这里，训练样本带有权重值，初始时所有样本的权重相等，在训练过程中，被前面的弱分类器错分的样本会加大权重，反之会减小权重，这样接下来的弱分类器会更加关注这些难分的样本。弱分类器的权重值根据它的准确率构造，精度越高的弱分类器权重越大。
给定l个训练样本(xi , yi )，其中xi是特征向量，yi为类别标签，其值为+1或-1。训练算法的流程为：
训练算法流程
初始化样本权重值，所有样本的初始权重相等：
循环，对t = 1,..., T依次训练每个弱分类器：
训练一个弱分类器ft (x)，并计算它对训练样本集的错误率
计算弱分类器的权重：
更新所有样本的权重：
其中Zt为归一化因子，它是所有样本的权重之和：
结束循环
算法结束
最后得到强分类器：
根据计算公式，错误率低的弱分类器权重大，它是准确率的增函数。沿用医生集体会诊的例子，如果在之前的诊断中医生的技术更好，对病人情况的判断更准确，那么可以加大他在此次会诊时说话的分量即权重。弱分类器在训练样本集上的错误率计算公式为：
在这里考虑了样本权重值。因为可以保证在训练集上弱分类器的正确率大于0.5，所以有：
因此弱分类器的权重大于0。弱分类器的错误率小于0.5是能保证的，如果准确率小于0.5，只需要将弱分类器的输出反号即可。对于被弱分类器正确分类的样本，有：
对于被弱分类器错误分类的样本，有：
因此样本权重更新公式可以简化为：
由于：
它可以进一步可以简化成：
被上一个弱分类器错误分类的样本权重会增大，正确分类的样本权重减小，训练下一个弱分类器时算法会关注在上一轮中被错分的样本。这对应于每个医生在学习之后对病例权重的调整。给样本加权重是有必要的，如果样本没有权重，每个弱分类器的训练样本是相同的，训练出来的弱分类器也是一样的，这样训练多个弱分类器没有意义。AdaBoost算法的原则是：
关注之前被错分的样本，准确率高的弱分类器有更大的权重。
上面的算法中并没有说明弱分类器是什么样的，具体实现时应该选择什么样的分类器作为弱分类器？在实际应用时一般用深度很小的决策树，在后面将会详细介绍。强分类器是弱分类器的线性组合，如果弱分类器是线性函数，无论怎样组合，强分类器都是线性的，因此应该选择非线性的分类器做弱分类器。至此，我们介绍了AdaBoost算法的基本原理与训练过程，在后面的文章中，我们会介绍这种算法的理论依据，以及其他版本的实现，在现实问题中的应用。