题目描述
给出如下定义:
- 子矩阵:从一个矩阵当中选取某些行和某些列交叉位置所组成的新矩阵(保持行与列的相对顺序)被称为原矩阵的一个子矩阵。
例如,下面左图中选取第2、4行和第2、4、5列交叉位置的元素得到一个2*3的子矩阵如右图所示。
9 3 3 3 9
9 4 8 7 4
1 7 4 6 6
6 8 5 6 9
7 4 5 6 1
的其中一个2*3的子矩阵是
4 7 4
8 6 9
-
相邻的元素:矩阵中的某个元素与其上下左右四个元素(如果存在的话)是相邻的。
- 矩阵的分值:矩阵中每一对相邻元素之差的绝对值之和。
本题任务:给定一个n行m列的正整数矩阵,请你从这个矩阵中选出一个r行c列的子矩阵,使得这个子矩阵的分值最小,并输出这个分值。
(本题目为2014NOIP普及T4)
输入输出格式
输入格式:第一行包含用空格隔开的四个整数n,m,r,c,意义如问题描述中所述,每两个整数之间用一个空格隔开。
接下来的n行,每行包含m个用空格隔开的整数,用来表示问题描述中那个n行m列的矩阵。
输出格式:输出共1行,包含1个整数,表示满足题目描述的子矩阵的最小分值。
输入输出样例
5 5 2 3 9 3 3 3 9 9 4 8 7 4 1 7 4 6 6 6 8 5 6 9 7 4 5 6 1
6
7 7 3 3 7 7 7 6 2 10 5 5 8 8 2 1 6 2 2 9 5 5 6 1 7 7 9 3 6 1 7 8 1 9 1 4 7 8 8 10 5 9 1 1 8 10 1 3 1 5 4 8 6
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说明
【输入输出样例1说明】
该矩阵中分值最小的2行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行与第1列、第3列、第4列交叉位置的元素组成,为
6 5 6
7 5 6
,其分值为
|6−5| + |5−6| + |7−5| + |5−6| + |6−7| + |5−5| + |6−6| =6。
【输入输出样例2说明】
该矩阵中分值最小的3行3列的子矩阵由原矩阵的第4行、第5行、第6行与第2列、第6列、第7列交叉位置的元素组成,选取的分值最小的子矩阵为
9 7 8 9 8 8 5 8 10
【数据说明】
对于50%的数据,1 ≤ n ≤ 12,1 ≤ m ≤ 12,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 20;
对于100%的数据,1 ≤ n ≤ 16,1 ≤ m ≤ 16,矩阵中的每个元素1 ≤ a[i][j] ≤ 1,000,
1 ≤ r ≤ n,1 ≤ c ≤ m。
枚举一部分,dp一部分
枚举选的行
令dp[i][j]表示前i列选j列且第i列必须被选的最小值
col1[i] 表示所选行中,列内的差值的绝对值之和
col2[i][j] 表示所选行中,第i列与第j列差值的绝对值之和
转移dp[i][j] = min(dp[i][j], do[k][j - 1] + col1[i] + col2[k][i]),其中k < i
有一些细节需要注意(见代码)
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #define max(a,b) ((a) > (b) ? (a) : (b)) #define min(a,b) ((a) > (b) ? (b) : (a)) #define lowbit(a) ((a) & (-(a))) int read() { int x = 0;char ch = getchar();char c = ch; while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar(); while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar(); if(c == '-')return -x; return x; } const int INF = 0x3f3f3f3f; const int MAXN = 16 + 5; const int MAXM = 16 + 5; int n,m; int g[MAXN][MAXM]; int col2[MAXN][MAXN]; int col1[MAXM]; int r,c; int dp[MAXN][MAXM];//dp[i][j]表示前i列选j行且第i列一定会被选 int ans; bool b[MAXN]; int num[MAXN]; int dpp(); void dfs(int step, int pre) { if(step > r) { ans = min(ans, dpp()); return; } for(int i = pre + 1;i <= n;i ++) { if(!b[i]) { num[step] = i; b[i] = true; dfs(step + 1, i); num[step] = 0; b[i] = false; } } } int dpp() { memset(col2, 0, sizeof(col2)); memset(col1, 0, sizeof(col1)); memset(dp, 0, sizeof(dp)); for(int i = 2;i <= r;i ++) { for(int j = 1;j <= m;j ++) { col1[j] += abs(g[num[i]][j] - g[num[i - 1]][j]); } } for(int i = 1;i <= m;i ++) { for(int j = i + 1;j <= m;j ++) { for(int k = 1;k <= r;k ++) { col2[i][j] += abs(g[num[k]][i] - g[num[k]][j]); col2[j][i] += abs(g[num[k]][i] - g[num[k]][j]); } } } for(int i = 1;i <= m;i ++) { for(int j = 1;j <= c && j <= i;j ++)//注意j <= i { dp[i][j] = INF; for(int k = j - 1;k < i;k ++)//注意k = j - 1 { dp[i][j] = min(dp[k][j - 1] + col2[k][i] + col1[i], dp[i][j]); } } } int re = INF; for(int i = c;i <= m;i ++) { re = min(re, dp[i][c]); } return re; } inline void init() { n = read();m = read();r = read();c = read(); for(int i = 1;i <= n;i ++) { for(int j = 1;j <= m;j ++) { g[i][j] = read(); } } ans = INF; } inline void put() { printf("%d", ans); } int main() { init(); dfs(1, 0); put(); return 0; }