洛谷P1390 公约数的和 [2017年6月计划 数论12]

P1390 公约数的和

题目描述

有一天，TIBBAR和LXL比赛谁先算出1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。LXL还在敲一个复杂而冗长的程序，争取能在100s内出解。而TIBBAR则直接想1s秒过而获得完胜，请你帮他完成这个任务。

输入输出格式

输入格式：

共一行，一个正整数N。

输出格式：

共一行，一个数，为1~N这N个数中每任意两个不同的数的最大公约数的和。

输入输出样例

输入样例#1：

10

输出样例#1：

67

说明

对于40%的数据，2≤N≤2000.

对于100%的数据，2≤N≤2000000.

这个题怪好

不妨设f(n) = (1,n) + (2,n) + (3,n) + (4,n) + ... + (n-2,n) + (n-1,n)

则答案为f(2) + f(3) + f(4) + ... + f(n - 1) + f(n)

对于任意数i，若(i, n) = k,  则(i/k, n/k) = 1，不难得到

f(n) = Σ(i | n)phi(n/i) * i

对于每个i，枚举其倍数n即可

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring> 
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
inline void read(long long &x){x = 0;char ch = getchar();char c = ch;while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();while(ch >= '0' && ch <= '9')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();}
inline int max(int a, int b){return a > b ? a : b;}
inline int min(int a, int b){return a < b ? a : b;}
inline void swap(int &a, int &b){int tmp = a;a = b;b = tmp;}

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 2000000 + 10;

long long n;
long long ans;

long long prime[MAXN],phi[MAXN],cnt;
bool bp[MAXN];

inline void makephi()
{
    phi[1] = 1;
    for(register long long i = 2;i <= n;++ i)
    {
        if(!bp[i])
            prime[++cnt] = i, phi[i] = i - 1;
        
        for(register long long j = 1;j <= cnt;++ j)
        {
            if(i * prime[j] > n)break;
            bp[i* prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
            {
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1);
        }
    }
}

long long f[MAXN];

int main()
{
    read(n);
    makephi();
    for(register int i = 1;i <= n;i ++) 
    {
        for(register int j = i * 2;j <= n;j += i)
        {
            f[j] += phi[j / i] * i;
        }
    }
    for(register int i = 2;i <= n;++ i)
        ans += f[i];
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}