洛谷P1586 四方定理

P1586 四方定理

题目描述

四方定理是众所周知的：任意一个正整数，可以分解为不超过四个整数的平方和。例如：，当然还有其他的分解方案，和。给定的正整数，编程统计它能分解的方案总数。注意：和视为一种方案。

输入输出格式

输入格式：

第一行为正整数()，接下来行，每行一个正整数()。

输出格式：

对于每个正整数，输出方案总数。

输入输出样例

输入样例#1：

1
2003

输出样例#1：

48

两种做法，暴力枚举或DP。
这里着重说DP。因为暴力枚举轻易被卡掉

【状态】
dp[i][j]表示i用j个数的平方表示的方案数
【转移方程】
dp[i][j] = Σdp[i - k * k][j - 1]
【初始状态】
dp[0][0] = 1
【结果】
dp[n][1] + dp[n][2] + dp[n][3] + dp[n][4]
【注意事项】

如果按照i->j->k的顺序转移，当i - k * k也是完全平方数时，方案会算重。如计算dp[5][2]时，会累加dp[4][1]和dp[1][1]，但其实二者的本质是相同的。
因此，我们要按照k->i->j的顺序转移，k从小到大递增，保证了方案的唯一性

 

 Code DP

#include <bits/stdc++.h>

inline void read(long long &x)
{
    x = 0;char ch = getchar();char c = ch;
    while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-')x = -x;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;

//dp[i][j]表示i用j个平方数表示的方案数
//转移：dp[i][j] = dp[i - k * k][j - 1]
//

long long t,n,dp[(1 << 15) + 10][5];
long long ans;
 
int main()
{
    read(t);
    dp[0][0] = 1;
    for(int i = 1;i <= (1 << 14);++ i)
        for(int j = i * i;j <= (1 << 15);++ j)
            for(int k = 1;k <= 4;++ k)
                dp[j][k] += dp[j - i * i][k - 1];
    for(;t;--t)
    {
        read(n);
        printf("%d
", dp[n][1] + dp[n][2] + dp[n][3] + dp[n][4]);
    }
    return 0;
}

  Code 暴力

#include <bits/stdc++.h>

inline void read(long long &x)
{
    x = 0;char ch = getchar();char c = ch;
    while(ch > '9' || ch < '0')c = ch, ch = getchar();
    while(ch <= '9' && ch >= '0')x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    if(c == '-')x = -x;
}
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1 << 15;

long long t,n,dp[MAXN + 10][5];
long long ans;
 
int main()
{
    read(t);
    for(;t;--t)
    {
        ans = 0;
        read(n);
        for(int i = 0;i * i <= n;i ++)
        {
            int tmp1 = i * i;
            for(int j = i;tmp1 + j * j <= n;j ++)
            {
                int tmp2 = tmp1 + j * j;
                for(int k = j;tmp2 + k * k <= n;k ++)
                {
                    int tmp3 = tmp2 + k * k;
                    int c = n - tmp3;
                    if(c < k * k)break;
                    int m = sqrt(c);
                    if(m * m == c)ans ++;
                }
            }
        }
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}