BZOJ2440: [中山市选2011]完全平方数

2440: [中山市选2011]完全平方数

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Description

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些
数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而
这丝毫不影响他对其他数的热爱。
这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一
个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了
小X。小X很开心地收下了。
然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试
数据的组数。
第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的
第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4
1
13
100
1234567

Sample Output

1
19
163
2030745

HINT

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

Source

【题解】

二分答案x，转换为判断1...x间有多少无平方因子的数

反过来考虑：有多少有平方因子的数，用x减即可

有平方因子的数 = 有一个质数的平方因子数（如4的倍数，9的倍数,25的倍数，）的个数 - 有两个质数相乘的平方因子数（如36的倍数，100的倍数，225的倍数）的个数 + 有三个......

不难发现前面的加减号就是miu

1...x内可能的因数为1..√x,对于每个因数i，唯一分解后，设共有k个数且质数全为1，即为有k个质数相乘，平方即为有k个质数相乘的平方因子，在1..x中有因子i^2的有[x/i^2]个，贡献为-miu[i]

用总数n去减即可

最终答案为Σ(i = 1 to √x)miu[i] * x/(i*i)

 1 #include <iostream>
 2 #include <cstdio>
 3 #include <cstring>
 4 #include <cstdlib>
 5 #include <algorithm>
 6 #include <queue>
 7 #include <vector>
 8 #include <cmath>
 9 #define min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
10 #define max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
11 #define abs(a) ((a) < 0 ? (-1 * (a)) : (a))
12 inline void swap(long long &a, long long &b)
13 {
14     long long tmp = a;a = b;b = tmp;
15 }
16 inline void read(long long &x)
17 {
18     x = 0;char ch = getchar(), c = ch;
19     while(ch < '0' || ch > '9') c = ch, ch = getchar();
20     while(ch <= '9' && ch >= '0') x = x * 10 + ch - '0', ch = getchar();
21     if(c == '-') x = -x;
22 }
23 
24 const long long INF = 0x3f3f3f3f;
25 const long long MAXN = 1000000;
26 
27 long long miu[MAXN + 10], bp[MAXN + 10], p[MAXN + 10], tot;
28 
29 void make_miu()
30 {
31     miu[1] = 1;
32     for(register long long i = 2;i <= MAXN;++ i)
33     {
34         if(!bp[i]) p[++ tot] = i, miu[i] = -1;
35         for(register long long j = 1;j <= tot && i * p[j] <= MAXN;++ j)
36         {
37             bp[i * p[j]] = 1;
38             if(i % p[j] == 0)
39             {
40                 miu[i * p[j]] = 0;
41                 break;
42             }
43             miu[i * p[j]] = -miu[i];
44         } 
45     } 
46 } 
47 
48 long long t, k, ans, tmp;
49 
50 bool check(long long n)
51 {
52     long long tmp = sqrt(n);
53     long long ans = 0;
54     for(register long long i = 1;i <= tmp;++ i) 
55         ans += miu[i] * n/(i * i);
56     return ans >= k;
57 }
58 
59 int main()
60 {
61     make_miu();
62     read(t);
63     for(;t;--t)
64     {
65         read(k);
66         long long l = 1, r = 10000000000, mid, ans;
67         while(l <= r)
68         {
69             mid = (l + r) >> 1;
70             if(check(mid)) r = mid - 1, ans = mid;
71             else l = mid + 1;
72         }
73         printf("%lld
", ans);
74     }
75     return 0;
76 }

BZOJ2440