Programming Assignment 5: Kd-Trees

原题：http://coursera.cs.princeton.edu/algs4/assignments/kdtree.html

1. 问题重述

这个问题其实就是Kd-Trees那节课讲的内容，按照老师的思路来实现就好了。

这个问题就是在一个平面上有N个点，需要实现两个功能。

1. 在给定一个平面内区域，让你寻找在区域中点的个数。
2. 给定一个点，寻找离这个点最近的M个点

2. 分析

题目要求用两种方法求解，一种暴力方法，一种2d-Tree。

2.1 暴力搜索

功能1，将每个点都和需要搜索的区域比较。

功能2，计算给定点和每个点的距离，拿个优先队列存M个。

点的插入、删除使用红黑树，时间就能满足O(logn)。两个功能就是O(N)。

2.2 构建2d-Tree

本以为就按照课程讲的做就是了。结果实际写的过程中遇到了好多好多问题。

那这里就把思路详细的写出来了。

2d-Tree是一个变种的BST。

2.2.1 构造Node

包括Node的坐标、Node所在的矩形、Node的左/下子树、Node的右/上子树。

2.2.2 insert函数

插入的时候使用迭代的思想，将新的点插入到一个节点，然后再节点中向对应的子树插入此节点。当遇到空的子树时，插入新点。

难点1，由于不同层分割区域的方式不同，所以需要在插入函数中加入一个参数i记录所在层，通过i % 2来判断分割方式，选择比较对象x或y。

难点2，插入时存在两个假设，1.对于落在分割线上的点，假设点分在右/上子树；2.相同坐标的点只插入一次。理清楚这两个假设需要费些时间，要分清分割线上的点，和相同的点。

2.2.3 contain函数

contain函数的搜索过程和insert找插入点的过程一致，需要注意的就是区分相同点和落在分割线上的点。另外要注意的是，不要自己写判断点是否包含在矩形中，直接用矩形的成员函数。

2.2.4 range函数

递归调用，每次先判断range矩形是否在当前Node的矩形里，不在则将当前Node和其子树剪枝。若在矩形里，则继续搜索子树。

2.2.5 nearest函数

重头戏来了，坑了我最久时间的函数。

这个问题最难的点在于

1. 需要判断query点在Node的哪一侧。因为需要从query点所在的一侧开始搜索。
2. 搜索完一侧之后，另一侧是否剪枝。因为Node两侧子树还可能不存在。而且判题系统不允许自己使用distanceTo来判断点到切割线的距离，只能使用子树的矩形的contain函数。就需要先判断两侧子树是否存在。

然后我就把自己绕晕在这几个判断条件里了。

现在来清楚的理一下流程。依旧使用递归的方法。

1. 传入节点，将节点和最短节点比较，更新最短节点。这里，第一次使用根节点作为最短节点，并传入根节点。
2. 判断点在哪侧。根据切割方向，将Node里的x/y与query点的x/y来比较。
3. 若在左/下侧，进入流程3。若在右/上侧，进入流程4。
4. 判断左侧是否有节点，如果有节点，将节点传入nearest函数。然后判断右侧是否存在节点，若不存在则直接返回；若存在，则判断左侧距离右侧节点所在矩形的距离是否是否大于最短距离，若大于，则返回，否则搜索右侧。
5. 判断右侧是否有节点，如果有节点，将节点传入nearest函数。然后判断左侧是否存在节点，若不存在则直接返回；若存在，则判断右侧距离左侧节点所在矩形的距离是否是否大于最短距离，若大于，则返回，否则搜索左侧。

流程图如下图所示。