长整数的乘法运算

概述

都知道, 计算机中存储整数是存在着位数限制的, 所以如果需要计算100位的数字相乘, 因为编程本身是不支持存储这么大数字的, 所以就需要自己实现, 当然了, 各个编程语言都有大数的工具包, 何必重复造轮子, 但我还是忍不住好奇他们是如何实现的, 虽然最终没有翻到他们的底层源码去, 但查询的路上还是让我大吃一惊, 来吧, 跟我一起颠覆你的小学数学.

长乘运算

当然, 如果自己实现这样一个大数, 用数组来存储每一位是我当前想到的方法. 那如何进行乘法运算呢? 因为用数组来存储数字, 那么数字的加法也要采用每一位进位的方式来进行, 所以下面为了方便说明算法的效率, 以一次个位数的运算视为一个运算单位.

说明一下, 以下的计算步骤计数仅是我个人理解, 与网上其他文章所写不太一样. 仅代表个人观点. ​

上小学知识:

• (4*5=20)
  • 个位数相乘, 一次运算
• (14*5=(4*5)+(1*5)*10=70)
  • 2位数乘1位数, 分解后共: 2次乘法和2位数的加法, 4次运算(乘10可看做移位操作)
• (134*6=(4*6)+(3*6)*10+(1*6)*100=804)
  • 3位数乘1位数, 分解后共: 3次乘法, 3位数的加法(不要看两个加号, 可以乘法运算完后做连加运算, 当然, 也可能连加之后发生溢出, 暂不考虑. 此处简化只看加法的位数即可), 6次运算.
• (1234*7 = (4*7) + (3*7)*10 + (2*7)*100 + (1*7)*1000 = 8638)
  • 4位数乘1位数, 8次运算.

通过上面可总结规律, n位数乘一位数, 需要 2n 次运算. 将 n 位数乘1位数的运算称作短乘. 然后下面再看一下 n 位数乘 n 位数.

• (14*13=(14*3) + (14*1)*10=182)
  • 两位数相乘, 2次短乘, 4位数加法(99*9*10 最差情况). 共: (2*(2n) + 4 = 12) 次运算
• (132*256=(132*6)+(132*5)*10+(132*2)*100=33792)
  • 三位数相乘: 3次短乘, 6位数加法(最差情况), 共: (3*(2n) + 6=24)次运算.

通过上面, 总结规律, n位数相乘(长乘)的运算次数是: (n*(2n) + 2n = 2n^2+2n) 次运算. 当然, 这就是我们从小接受的进行乘法运算的方法, 所以写成这样还好, 比较合乎常理. 时间复杂度是 O(n^2)

但是, 他还可以更快么? 我以为就这样了, 是我小看了伟大的数学家. .

Karatsuba方法

由简入难, 先看一下两位数的乘法:

12*34, 为了方便初中方程未知数的思维, 我们将这两个数字拆解一下:

[egin{align*} 12 &= 10a+b (其中 a=1, b=2) \ 34 &= 10n+m (其中 n=3, m=4) end{align*} ]

则,

[egin{align*} & 12*34 \ =& (10a + b) * (10n+m) \ =& 100an + 10am + 10bn + bm \ =& 100an + 10(am + bn) + bm end{align*} ]

当化简到这里, 2位数相乘需要几次运算? 来算一下:

• (10(am + bn)) : 共2次乘法, 2位数加法, 共4次运算.
• an 和 bm : 共2次乘法, 共2次运算
• 剩下最外层的加法, 最差情况: ((100*9*9) 4位数, (10*(9*9 + 9*9)) 4位数), 共4次运算
• 则总计, (4+4+2=10)次运算.

此时, 需要的运算次数已经较之前的12次少一些了, 但是别急, 容我把公式再变换一下.

令:

[egin{align*} u&=an \ w&=bm \ s&=(b-a)*(m-n) end{align*} ]

公式:

[egin{align*} & 100u + (u+w-s)*10+w \ =& 100an + (an + bm - (b-a) * (m-n)) *10 + bm \ =& 100an + (an + bm - bm + bn + am - an)*10 + bm \ =& 100an + (bn + am) * 10 + bm end{align*} ]

是不是和上面的公式一样了呢? 是的, 那转换公式是为了什么呢? 当然是为了减少运算次数啦. 算一下:

• 计算u : 1次运算
• 计算w: 1次运算
• 计算 s: 3次运算
• 计算 u+w-s: 2位数运算, 2次运算
• 计算最外层加法: 3位数运算, 3次运算
• 共: 10次运算.

这和我刚才计算的不也是10次么? 不过个位数的乘法换成加法就会变快了么? 不要小看这个一次乘法运算的减少, 从上面能够看出, 乘法运算的运算次数是随位数成指数增长的, 而加法运算则随位数成线性增长, 等看了下面的多位数相乘, 你就知道减少的这一次乘法运算有什么用了.

不过下面才是重头戏, 数字多了之后, 此算法就明显比传统的快的多了.

4位数乘法

计算: (1234*5678)

设:

[egin{align*} 1234&=100a+b (其中 a=12, b=34) \ 5678&=100n+m (其中 n=56, m=78) \ 1234+5678 &= (100a + b) * (100n + m) end{align*} ]

套用上面的公式:

令:

[egin{align*} u&=an \ w&=bm \ s&=(b-a)*(m-n) end{align*} ]

则结果为: (10000u + (u+w-s)*100+w)

此次进行了几次运算呢? 算一下:

• 计算 u: 两位数乘法, 10次运算
• 计算w: 10次运算
• 计算s: 两位数减法两次, 一次乘法, 14次运算
• 计算整体: 8位数相加((99*99*10000)), 8次运算
• 整体: (10+10+14+8=32)次运算.

32次运算, 之前长乘的方式需要几次呢? (2*(4*4) + 2*4=40). 是不是少了.

也就是说, 4位数的乘法, 其中用到了3次两位数乘法, 2次两位数减法, 1次8位数加法.

8位数乘法

8位数乘法就不展开了, 直接套用4位数乘法得出的结论, 其运算次数为:

• 3次4位数乘法: (3*32=96)次
• 2次4位数减法: (2*4=8)次
• 1次 (9999*9999*100000000) 位数加法: 17次
• 共: (96+8+17=121)次运算.

原来的长乘需要几次呢? (2*(8*8) + 2*8=144)次.

是不是有一种动态规划, 分而治之的感觉? 可以利用函数递归来实现.

问题

想必此算法的问题也很明显了, 为了每次都能将数字拆成左右两部分, 所以只能够计算位数是2的 n 次方的数字, 如果位数不足, 则需要在前边进行补0.

算法比较

为了比较两个算法的运算次数, 让我们忽略运算的低次幂以及常数项, 则(以下 n 为2的幂):

长乘

[f(n) = egin{cases} 1, ext{ $n$ == 1} \ 2 * (2^n)^2, ext{else} end{cases} ]

Karatsuba:

[f(n) = egin{cases} 3, ext{$n$==1} \ 3*f(n-1), ext{else} end{cases} ]

分别进行计算:

2的幂/数字位数	长乘	Karatsuba
(2^0=1)	1	1
(2^1 = 2)	8	3
(2^{10}=1024)	2097152
(2^{20}=1048576)	2199023255552	1162261467
(2^{50}=1125899906842624)	2535301200456458802993406410752	239299329230617529590083
(2^{100}=1267650600228229401496703205376)	3213876088517980551083924184682325205044405987565585670602752	171792506910670443678820376588540424234035840667

可以看出来, 当数字的位数越大, 则两个算法之间的差距越明显.

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有没有被颠覆的感觉? 是不是自己知道了20多年的乘法运算, 根本没有想到还有其他计算乘法的运算规则? 我也没想到, 涨见识了...

果然, 没有什么是伟大的科学家们做不到的, 这算法我看了近乎整整一天, 草稿纸废了四十张, 总算是略知一二了.