狄利克雷卷积 & 莫比乌斯反演

积性函数与完全积性函数

积性函数

若一个数论函数(f)满足当(gcd(n,m)=1)时，(f(nm)=f(n)f(m))

则称(f)为积性函数

一些常见的积性函数

完全积性函数

若一个积性函数函数(f)满足当(gcd(n,m) e1)时，也有(f(nm)=f(n)f(m))

则称(f)为完全积性函数

狄利克雷卷积

定义两个数论函数的狄利克雷卷积(*)

若(t=f*g)

[t(n)=sumlimits_{i|n}f(i)g(frac{n}{i}) ]

等价于

[t(n)=sumlimits_{ij=n}f(i)g(j) ]

狄利克雷卷积有以下性质(两个数论函数相等，是指两个函数的每一项都相等)：

1. 交换律 (f*g=g*f)
2. 结合律 (f*(g*h)=(f*g)*h)
3. 分配律 (f*h+g*h=(f+g)*h)
4. 没有名字((xf)*g=x(f*g))
5. 单位元(epsilon*f=f) ，其中(epsilon(n)=[n==1])
6. 逆元:对于每一个(f(1)≠0)的函数(f)，都有(f∗g=ϵ)

讨论一下第六个结论，如何求一个函数的逆呢？

只需要定义

[g(n)=frac{1}{f(1)}left([n==1]-sumlimits_{i|n,i e1}f(i)g(frac{n}{i}) ight) ]

这样的话

[sumlimits_{i|n}f(i)g(frac{n}{i})=f(1)g(n)+sumlimits_{i|n,i e1}f(i)g(frac{n}{i})=[n==1] ]

几种比较常见的卷积关系：

(mu*1=epsilon) 【莫比乌斯反演】【(mu)与(1)互为逆元】

(varphi*1=Id)

(varphi=Id*mu)

(d=1*1)

(1=mu*d)

莫比乌斯反演

我们定义(1)的逆是(mu)

这样的话，如果(g=f∗1)，就有(f=f∗1∗mu=g∗mu)

换句话说，就是

[g(n)=sumlimits_{d|n}f(d)Leftrightarrow f(n)=sumlimits_{d|n}mu(frac{n}{d})g(d) ]

也可以这样子

[g(d)=sumlimits_{d|n}f(n)Leftrightarrow f(d)=sumlimits_{d|n}mu(frac{n}{d})*g(n) ]

例子

怎么用呢？举几个例子(以下情况默认(n≤m))

Eg1

求

[sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] ]

设

[f(x)=sumlimits_{i=1}^{n}sumlimits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] ]

[g(x)=sumlimits_{x|d}f(d) ]

则

[f(1)=sum_{1|d}mu(frac{d}{1})g(d) \ f(1)=sum_{i=1}^nmu(i)g(i) ]

考虑(g(x))是什么

[g(x)=sum_{x|d}sum_{i=1}^nsum_{i=1}^m[gcd(i,j)==d] ]

即

[g(x)=sum_{i=1}^nsum_{i=1}^m[x|gcd(i,j)] \ g(x)=sum_{i=1}^{leftlfloorfrac nx ight floor}sum_{i=1}^{leftlfloorfrac mx ight floor}[1|gcd(i,j)]\ g(x)=leftlfloorfrac nx ight floorleftlfloorfrac mx ight floor]

带回(f(1))

[Ans=sum_{x=1}^nmu(x)leftlfloorfrac nx ight floorleftlfloorfrac mx ight floor ]

这个用整除分块可以做到(O(sqrt(n)))