E. Natasha, Sasha and the Prefix Sums 题解(dp+卡特兰数)

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题目思路

设(dp[i][j])表示由(i)个(1)和(j)个(-1)组成的前缀和总和

这样可以成立的原因是我们固定地认为每当新加入一个数的时候将该数插入序列的最前方，这种设定仍然保证了动

规涵盖所有可能的排列。

(dp[i][j]=dp[i-1][j]+C(i+j-1,i-1)+dp[i][j - 1]+（-1）*（C(i+j-1,j-1)-)最大前缀和为0

的数列个数)​

最大前缀和为0的数可以利用卡特兰数求出

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int maxn=4e3+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244853;
const double eps=1e-6;
int n,m;
ll dp[maxn][maxn];
ll fac[maxn],finv[maxn];
ll qpow(ll a,ll b){
    ll ans=1,base=a;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*base%mod;
        base=base*base%mod;
        b=b>>1;
    }
    return ans;
}
void init(int n){
    fac[0]=finv[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
    }
    finv[n]=qpow(fac[n],mod-2);
    for(int i=n-1;i>=1;i--){
        finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%mod;
    }
}
ll c(ll a,ll b){
    if(a<b) return 0;
    ll ans=fac[a]*finv[b]%mod*finv[a-b]%mod;
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    init(4000);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i][0]=i;
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+c(i+j-1,i-1)+dp[i][j-1]-c(i+j-1,i);
            if(j-1>=i){
                dp[i][j]+=c(i+j-1,i)-c(i+j-1,j);
            }
            dp[i][j]=(dp[i][j]%mod+mod)%mod;
        }
    }
    printf("%lld
",dp[n][m]);
    return 0;
}