J. 最大权边独立集 题解(树上背包)

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题目思路

主要是不知道怎么加边，而题解巧妙的把加边换成了删点

然后再进行树上背包，细节也有点多

官方题解如下

枚举位于最终边独立集上的加入的边权为 p 的边的数量 t，那么 0 ≤ t ≤ k 且 2t ≤ n，这
是因为每条边将占据图中的两个点。
假设最终要加入 t 条边，那么需要从图中删去 2t 个点，然后用 t × p + 剩下图的最大权边
独立集来更新答案，这等价于在树上规定 2t 个点不匹配其它点，然后计算树的带权最大匹配。
使用自底向上的树形动态规划来解决这个问题：设 f[i][j][0] 表示考虑了 i 点的子树，i 点的
子树内删掉了 j 个点，且 i 不能往上匹配 i 的父亲时的带权最大匹配；设 f[i][j][1] 表示考虑了
i 点的子树，i 点的子树内删掉了 j 个点，且 i 能够往上匹配 i 的父亲时的带权最大匹配。那么
状态数为 O(nk)，在转移时需要合并两棵子树的信息，j 这一维从 0 开始枚举到 min(sizex, k)
即可保证时间复杂度为 O(nk)，其中 sizex 表示 x 目前的子树大小。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fi first
#define se second
#define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
const int maxn=1e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=1e9+7;
const double eps=1e-6;
const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,ma,p;
int head[maxn],cnt;
ll dp[maxn][205][2];
ll tmp[205][2];
int sz[maxn];
struct edge{
    int to,next,w;
}e[maxn<<2];
void add(int u,int v,int w){
    e[++cnt]={v,head[u],w};
    head[u]=cnt;
}
void dfs(int u,int fa){
    sz[u]=1;
    dp[u][0][0]=0;
    dp[u][1][1]=0;
    for(int i=head[u];i;i=e[i].next){
        int to=e[i].to;
        if(to==fa) continue;
        dfs(to,u);
        for(int j=0;j<=200;j++){
            tmp[j][0]=dp[u][j][0];
            tmp[j][1]=dp[u][j][1];
        }
        // 0表示i这个点暂未匹配
        // 1表示i这个点已经匹配
        for(int j=0;j<=min(2*ma,sz[u]);j++){
            for(int k=0;k<=min(2*ma,sz[to])&&(j+k)<=200;k++){
                tmp[j+k][0]=max(tmp[j+k][0],dp[u][j][0]+dp[to][k][0]);
                tmp[j+k][0]=max(tmp[j+k][0],dp[u][j][0]+dp[to][k][1]);
                tmp[j+k][1]=max(tmp[j+k][1],dp[u][j][0]+dp[to][k][0]+e[i].w);
                tmp[j+k][1]=max(tmp[j+k][1],dp[u][j][1]+dp[to][k][0]);
                tmp[j+k][1]=max(tmp[j+k][1],dp[u][j][1]+dp[to][k][1]);
            }
        }
        for(int j=0;j<=min(2*ma,sz[u]);j++){
            for(int k=0;k<=min(2*ma,sz[to])&&(j+k)<=200;k++){
                dp[u][j+k][0]=tmp[j+k][0];
                dp[u][j+k][1]=tmp[j+k][1];
            }
        }
        sz[u]+=sz[to];
    }
}
signed main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&ma,&p);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=2*ma;j++){
            dp[i][j][0]=dp[i][j][1]=-INF;
        }
    }
    for(int i=1,u,v,w;i<=n-1;i++){
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        add(u,v,w);
        add(v,u,w);
    }
    dfs(1,1);
    ll pr=0;
    for(int i=0;i<=2*ma;i+=2){
        pr=max(pr,max(dp[1][i][0],dp[1][i][1])+1ll*i/2*p);
    }
    printf("%lld
",pr);
    return 0;
}