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  • Character Encoding题解(容斥)

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    题目思路

    计算有多少种方案使得

    \(x_1+x_2+...+x_m=k(0\leq x_i \leq n)\)的方案数

    假设没有限制,那么根据隔板法就是\(c(m+k-1,m-1)\)

    下面考虑容斥

    考虑至少有\(i\)个点大于\(n\),那么取\(i\)个点直接给他先赋值为\(n\)再进行隔板

    则方案数为\(c(m,i)*c(m+k-1-i*n,m-1)\)

    然后再进行容斥

    答案为\(\sum_{i=0}^{i=m}(-1)^i*c(m,i)*c(m+k-1-i*n,m-1)\)

    代码

    #include<bits/stdc++.h>
    #define fi first
    #define se second
    #define debug cout<<"I AM HERE"<<endl;
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn=3e5+5,inf=0x3f3f3f3f,mod=998244353;
    const double eps=1e-6;
    const ll INF=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
    int n,m,k;
    ll fac[maxn],finv[maxn];
    ll qpow(ll a,ll b){
        ll ans=1,base=a;
        while(b){
            if(b&1) ans=ans*base%mod;
            base=base*base%mod;
            b=b>>1;
        }
        return ans;
    }
    void init(int n){
        fac[0]=finv[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
        }
        finv[n]=qpow(fac[n],mod-2);
        for(int i=n-1;i>=1;i--){
            finv[i]=finv[i+1]*(i+1)%mod;
        }
    }
    ll c(ll a,ll b){
        if(a<b||a<0||b<0) return 0;
        ll ans=fac[a]*finv[b]%mod*finv[a-b]%mod;
        return ans;
    }
    signed main(){
        init(300000);
        int _;scanf("%d",&_);
        while(_--){
            scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
            ll ans=0;
            ll flag=-1;
            for(ll i=0;i<=m;i++){
                flag*=-1;
                ans=(ans+flag*c(m,i)*c(m+k-1-i*n,m-1))%mod;
            }
            ans=(ans%mod+mod)%mod;
            printf("%lld\n",ans);
        }
        return 0;
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/hunxuewangzi/p/15593049.html
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