poj 2229 完全背包变形（求解整数拆分问题）

整数拆分问题：给定一个正整数n，将n拆分为若干数字的和，问有多少种方法？

此题为整数拆分问题的子问题，拆分出的数字要求是2的幂次。

定义dp[i][k]表示枚举到第k个数字时数字i的拆分方案数。

则有状态转移方程：

　　dp[i][k] = dp[i][k - 1] + dp[i - num[k]][k];

熟悉完全背包的朋友可以看出，这个方程和完全背包的状态转移方程如出一辙，第二维可以省去，只要将i从小到大枚举即可。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MOD = 1000000000;
const int N = 1000001;
int dp[N];

void init()
{
    dp[0] = 1;
    for ( int j = 0; ( 1 << j ) < N; j++ )
    {
        for ( int i = ( 1 << j ); i < N; i++ )
        {
            dp[i] += dp[i - ( 1 << j )];
            if ( dp[i] >= MOD ) dp[i] -= MOD;
        }
    }
}

int main ()
{
    init();
    int n;
    while ( scanf("%d", &n) != EOF )
    {
        printf("%d
", dp[n]);
    }
    return 0;
}

此外还有递推的做法：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int MOD = 1000000000;
const int N = 1000001;
int dp[N];

void init()
{
    dp[1] = 1;
    dp[2] = 2;
    for ( int i = 3; i < N; i++ )
    {
        if ( i & 1 )
        {
            dp[i] = dp[i - 1];
        }
        else
        {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i >> 1];
            if ( dp[i] >= MOD ) dp[i] -= MOD;
        }
    }
}

int main ()
{
    init();
    int n;
    while ( scanf("%d", &n) != EOF )
    {
        printf("%d
", dp[n]);
    }
    return 0;
}