在<<算法系列---回溯算法>>一节,讨论回溯算法及其应用,回溯能够在可以接受的时间内解决某些规模的组合问题,这节再讨论它的一个非常有意思的应用---跳马问题(骑士周游问题)。
问题
跳马问题也称为骑士周游问题，是算法设计中的经典问题。其一般的问题描述是：
考虑国际象棋棋盘上某个位置的一只马，它是否可能只走63步，正好走过除起点外的其他63个位置各一次？如果有一种这样的走法，则称所走的这条路线为一条马的周游路线。试设计一个算法找出这样一条马的周游路线。
此题实际上是一个Hamilton回路问题,和迷宫问题很相似,可以用回溯算法来解决.
考虑到马在每一个位置,最多有8种跳法,如下图所示:
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K7 |
K0 |
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K6 |
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K |
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K5 |
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K3 |
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可以使用N皇后问题的算法模板。
算法如下：
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>
/**/
//棋盘行数const int N = 8;int step[N * N] = {-1}; //保存每一步做出的选择
int chess[N][N] = {0}; //棋盘//下一个方向int Jump[8][2] = {{-2, 1}, {-1, 2}, {1, 2}, {2, 1}, {2, -1}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}};int p = 0;//对解的个数计数//判断是否合法int canJump(int x, int y){
if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0) return 1; return 0;
}//输出结果void OutPutChess(){ int i; for (i = 1; i <= N * N - 1; ++i)
{
printf("%d ", step[i]);
} printf("\n"); for(i=0;i<N;i++) { for(int j=0;j<N;j++) printf("%3d ",chess[i][j]); printf("\n"); }}//回溯算法void BackTrace(int t, int x, int y){ if (t >= N * N) //if(t>=37) { p++; OutPutChess();//输出结果 exit(1); //求得一个解时,退出程序 //return; //求得所有解 } else { for (int i = 0; i < 8; ++i) { if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1])) { //求下一个结点 x += Jump[i][0]; y += Jump[i][1]; printf("(%2d,%2d)",x,y);//打印当结点 chess[x][y] = t + 1; step[t] = i; BackTrace(t + 1, x, y);//递归调用 //回溯 chess[x][y] = 0; x -= Jump[i][0]; y -= Jump[i][1]; } } }}/**/int main(){ int x = 0; int y = 0; chess[x][y] = 1; BackTrace(1, x, y); printf("All Results Number = %d ", p);}始发生回溯,可通过改BackTrace中的第一个if中的参数发现。据说,总的回溯次数达300多百万次.
我的机子运行20分钟也没运行出结果.我们可以考虑,当N=8时,为2192,即使对于2100=1.3*1030,对于一台每秒1万亿(1012)次操作的计算机,也需要4*1010才能完成,超过了45亿年---地球的估计年龄.
但是,该算法可以适当改进,考虑到:
即向前看两步，当每准备跳一步时，设准备跳到(x, y)点，计算(x, y)这一点可能往几个方向跳（即向前看两步），将这个数目设为(x, y)点的权值，将所 有可能的(x, y)按权值排序，从最小的开始，循环遍历所有可能的(x, y)，回溯求出结果。算法可以求出所有可能的马跳棋盘路径，算出一个可行 的结果很快，但在要算出所有可能结果时，仍然很慢，因为最坏时间复杂度本质上并没有改变，仍为O(8^(N * N)),但实际情况很好,在瞬间即可得到一个解,当然,要求得所有解,也需要很长的时间.
下面是实现这一思想的代码：
#include <stdio.h>#include <stdlib.h>/**///棋盘行数const int N = 8;int step[N * N] = {-1}; //保存每一步做出的选择int chess[N][N] = {0}; //棋盘int Jump[8][2] = {{-2, 1}, {-1, 2}, {1, 2}, {2, 1}, {2, -1}, {1, -2}, {-1, -2}, {-2, -1}};int p = 0;//对解的个数计数//判断是否合法int canJump(int x, int y){ if (x >= 0 && x < N && y >= 0 && y < N && chess[x][y] == 0) return 1; return 0;}//求权值int weightStep(int x, int y){ int count = 0; for (int i = 0; i < 8; ++i) { if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1])) count++; } return count;}//权值排序void inssort(int a[], int b[], int n){ if (n <= 0) return; for (int i = 0; i < n; ++i) { for (int j = i; j > 0; --j) { if (a[j] < a[j - 1]) { int temp = a[j - 1]; a[j - 1] = a[j]; a[j] = temp; temp = b[j - 1]; b[j - 1] = b[j]; b[j] = temp; } } }}//输出结果void OutPutChess(){ int i; for (i = 1; i <= N * N - 1; ++i) { printf("%d ", step[i]); } printf("\n"); for(i=0;i<N;i++) { for(int j=0;j<N;j++) printf("%3d ",chess[i][j]); printf("\n"); }}//回溯算法void BackTrace(int t, int x, int y){ if (t >= N * N) { p++; OutPutChess();//输出结果 exit(1); //求得一个解时,退出程序 //return; //求得所有解 } else { int i; int count[8], possibleSteps[8]; int k = 0; for (i = 0; i < 8; ++i) { if (canJump(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1])) { count[k] = weightStep(x + Jump[i][0], y + Jump[i][1]); //求权值 possibleSteps[k++] = i; //保存下一个结点的序号 } } inssort(count, possibleSteps, k);//排序 for (i = 0; i < k; ++i) { int d = possibleSteps[i]; //跳向下一个结点 x += Jump[d][0]; y += Jump[d][1]; chess[x][y] = t + 1; step[t] = d; BackTrace(t + 1, x, y); //递归调用 //回溯 chess[x][y] = 0; x -= Jump[d][0]; y -= Jump[d][1]; } }}int main(){ int x = 0; int y = 0; chess[x][y] = 1; BackTrace(1, x, y); printf("All Results Number = %d ", p);}如果如下：
