动态规划那些事

动态规划算法是一种经典的算法，它是如此美妙的算法，值得每一个程序员拥有。但是，直到晚上看《算法导论》，才发现自己现在才全面理解它，不禁狂汗。。。

以经典的背包问题来展示动态规划算法：

  1 #include <stdio.h>
  2 
  3 #define N    4
  4 #define W    5
  5 
  6 //物品的重量
  7 int w[] = {-1, 2, 1, 3, 2};
  8 
  9 //价值数组
 10 int vi[] = {-1, 12, 10, 20, 15};
 11 
 12 int v[N+1][W+1]; //v[i][j]表示从前i个物品选能够放进承重量为j的背包的子集的最大总价值
 13 
 14 void init()
 15 {
 16     int  i, j;
 17     for (i = 0; i <= N; i++)
 18         for (j = 0; j <= W; j++)
 19             v[i][j] = -1;
 20 
 21     for (i = 0; i <= N; i++)
 22         v[i][0] = 0;
 23 
 24     for (i=0; i <= W; i++)
 25         v[0][i] = 0;
 26 }
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 28 
 29 //基于备忘录的动态规划算法
 30 int MKFnapsack_MEMOIZE(int i, int j)
 31 {
 32     int value;
 33     if (v[i][j] < 0)  //如果v[i][j]还没有计算,则进行计算
 34     {
 35         if (j < w[i])
 36             value = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1,j);
 37         else
 38         {
 39             int v1 = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1, j);
 40             int v2 = MKFnapsack_MEMOIZE(i-1, j-w[i]) + vi[i];
 41             value = v1 >=v2 ? v1:v2;
 42         }
 43         v[i][j] = value;
 44     }
 45     return v[i][j]; //如果v[i][j]已经进行计算,则不进行计算,直接返回即可
 46 }
 47 
 48 //自顶向下的动态规划算法
 49 int MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(int i, int j)
 50 {
 51     int value;
 52     
 53     if(i <= 0 || j <= 0)
 54         return 0;
 55 
 56     //不管v[i][j]是否计算过,都进行计算
 57     if (j < w[i])
 58         value = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j);
 59     else
 60     {
 61         int v1 = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j);
 62         int v2 = MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(i-1, j-w[i]) + vi[i];
 63         value = v1 >= v2 ? v1:v2;
 64     }
 65 
 66     return value;
 67 }
 68 
 69 //自底向上的算法
 70 int MKFnapsack_BOTTOM_TO_TOP(int Ni, int Wi)
 71 {
 72     int i, j;
 73     for (i = 1; i <= Ni; i++)
 74     {
 75         for(j = 1; j <= Wi; j++)
 76         {
 77             if(j < w[i])
 78                 v[i][j] = v[i-1][j];
 79             else //j >=w[i]
 80             {
 81                 int v1= v[i-1][j];
 82                 int v2 = v[i-1][j-w[i]] + vi[i];
 83                 v[i][j] = v1 >= v2 ? v1:v2;
 84             }
 85         }
 86     }
 87     return v[N][W];
 88 }
 89 
 90 void print_v(int Ni, int Wi)
 91 {
 92     int i, j;
 93     for(i = 0; i <= Ni; i++)
 94     {
 95         for(j = 0; j <= Wi; j++)
 96             printf("%d ", v[i][j]);
 97         printf("\n");
 98     }
 99 }
100 
101 int main()
102 {
103     printf("top to bottom most value is:%d\n", MKFnapsack_TOP_TO_BOTTOM(N, W));
104 
105     init();//数组初始化
106     printf("memoize most value is:%d\n", MKFnapsack_MEMOIZE(N, W));
107     print_v(N, W);
108 
109     init();
110     printf("bottom to top most value is:%d\n", MKFnapsack_BOTTOM_TO_TOP(N, W));
111     print_v(N, W);
112 
113     return 0;
114 }

输出结果：

自顶向下的递归算法，写法最简单，但效率是最低的，它往往把问题搞成指数级。而自底向上的算法是DP的经典策略，它比自顶向下的效率高，但是，它往往也计算了没有必要计算的子问题(见上图)。而基于备忘录的自顶向下的算法是前两者的集大成者，效率最优。

作者：arrowcat
出处：http://www.cnblogs.com/hustcat/
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