连续子数组最大和

1 问题描述

由N个整数构成的一维数组A[0],A[1],A[2],...,A[N-1]，找出其连续子数组中和最大的一个。连续子数组就是连续的几个元素构成的子数组。

{1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5}

2 问题的解决思路

2.1 子问题的提取和描述

包含A[i]的连续子数组中最大的为sum[i]，那么共有sum[0], sum[1], sum[N-1]，求出这些值，然后，其中最大的即为最大和的连续子数组。这里一定要是包含i，因为这样的话，就把这个问题转化成了N个子问题。

2.2 递推关系提取

sum[0] = 1

假设sum[i-1]已知，sum[i-1]是前面的i个元素的最大值，现在加上A[i]，现在分下面两种情况讨论：

第一，如果sum[i-1]<0，那么sum[i]=A[i]，因为前面的都是小于0的，那么丢掉它们，加入的话，没有意义，只会把包含我的这个子串拖累掉；

第二，如果sum[i-1]>=0, 又分两种情况：

        第一，如果sum[i-1] + A[i] > 0，那么说明前面的i-1的最大子串对我是有帮助的，并且我们一起对后面的A[i+1]也是有帮助的，因此

        sum[i] = sum[i-1] + A[i]；

        第二，如果sum[i-1] + A[i] < 0，那么说明自己是一个很小的负数，对后面的A[i+1]是没有帮助的，会拖累后面的，那么

        sum[i] = A[i]；

2.3 列表求解

     sum[i]    A[i] =1      -2          3            10             -4               7                 2                -5   

     i = 0        1

     i = 1                       -2

     i = 2                                   3   

     i = 3                                                 13

     i = 4                                                                  9

     i = 5                                                                                   16

     i = 6                                                                                                     18

     i = 7                                                                                                                       13

3 编码实现

#include <iostream>
#include <climits>

int main(int argc, char* argv[])
{
    int A[8] = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};

    int sum[8] = {0};

    sum[0] = 1;

    for (int i = 1; i < 8; i++)
    {
        if (sum[i - 1] < 0)
        {
            sum[i] = A[i];
        } else {
            if (sum[i - 1] + A[i] < 0)
            {
                sum[i] = A[i];
            } else {
                sum[i] = A[i] + sum[i - 1];
            }
        }
    }

    int max = INT_MIN;
    for (int i = 0; i < 8; i++)
    {
        if (sum[i] > max)
        {
            max = sum[i];
        }
    }

    std::cout<<"the max sum of continuous subarray is:"<<max<<std::endl;

}