Python实现杨辉三角

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡（1623----1662）是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，它把二项式系数图形化，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。
以下是杨辉三角的大概样子，n=5

昨天一直在看传智播客2018年的前端教程，昨天和今天也抽空研究了以下如何用Python实现杨辉三角。
杨辉三角有以下几点特性：

• 前提：每行端点与结尾的数为1.
• 每个数等于它上方两数之和。
• 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
• 第n行的数字有n项。
• 第n行数字和为2n-1。
• 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数。
• 第n行的第m个数和第n-m+1个数相等 ，为组合数性质之一。
• 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个数之和，这也是组合数的性质之一。即 C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。
• (a+b)n的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。
• 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第4n+1个斐波那契数；将第2n行第2个数(n>1)，跟第2n-1行第4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。
• 将各行数字相排列，可得11的n-1（n为行数）次方：1=11^0; 11=11^1; 121=11^2……当n>5时会不符合这一条性质，此时应把第n行的最右面的数字"1"放在个位，然后把左面的一个数字的个位对齐到十位... ...，以此类推，把空位用“0”补齐，然后把所有的数加起来，得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例，第十一行的数为：1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1，结果为 25937424601=1110。

本来无从下手，但是研究了一种Python解法终于实现：

def YangHui():
    a = [1]
    while True:
        yield a
        a = [sum(i) for i in zip([0] + a, a + [0])]

n = 0
for j in YangHui():
    print(j)
    n += 1
    if n == 2:
        break

下面，我来解释以下这段代码是什么意思：
首先，定义一个函数，然后定义一个列表，a = [1]
然后就是while循环，yield生成器就不多说了。下面的其实也不用多说，主要是这句话:

a = [sum(i) for i in zip([0] + a, a + [0])]

大家知道，sum是计算符号，而zip是打包列表的用法。但是我看了很久看不懂什么意思，直到我一步步推演：

1. a = [1]
2. a = [0,1]+[1,0] = [1,1]
3. a = [0,1,1]+[1,1,0]==[1,2,1]
4. a = [0,1,2,1]+[1,2,1,0]=[1,3,3,1]
5. a = [0,1,3,3,1]+[1,3,3,1,0]=[1,4,6,4,1]

这种解法非常巧妙，他利用zip打包两个数组，再利用2个0，错位相加，从而实现了杨辉三角，解题者非常聪明，而我却很笨，看了很久才明白。