辗转相除法求两个整数的最大公约数

2020新年年初，一场疫情让人们止住了匆忙的脚步。一次在家看初中的在线教育视频，数学课上老师讲到一种求两个正整数的最大公约数的算法：辗转相除法，当时老师讲的很好，非常易懂，有了理论基础于是想用代码的方式实现。以下证明过程与教学视频无关。

一，辗转相除法

「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.

在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数,以后不再重覆.

我们可以这样给出整除以的定义:

对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数.

那麼如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.

由此,我们可以得出以下一些推论:

推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.

推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c).

推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.

辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下:

如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r).

证明是这样的:

设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)

则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b

又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r).

例如计算 gcd(546,429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此

gcd(546,429)

=gcd(429,117)

=gcd(117,78)

=gcd(78,39)

=39
最小公倍数就是2个数的积除以最大公约数

框图如下

二，Java算法实现

有了以上的理论基础，算法实现不难，用一个递归就可以实现，代码如下

    public Integer GDC(Integer m, Integer n) {
        if (m < n)
            XOR(m, n);

        Integer r = m % n;
        if (r > 0) {
            return GDC(n, r);
        } else {
            return n;
        }
    }

    /**
     * 两个数对换
     */
    private void XOR(Integer m, Integer n) {
        m = m ^ n;
        n = m ^ n;
        m = m ^ n;
    }

这段代码可以很好的实现求最大公约数。

仔细看代码后，实际上这个算法不够简洁，还可以优化，核心算法优化为一句代码实现，如下：

    public Integer GDC(Integer m, Integer n) {
        return n == 0 ? m : GCC(n, m % n);
    }

优化后的代码3行搞定，非常简洁。