洛谷P1224 向量内积

什么毒瘤......

题意：给定n个d维向量，定义向量a和b的内积为

求是否存在两个向量使得它们的内积为k的倍数，并给出任一种方案。k <= 3。

解：很容易想到一个暴力是n²d的。显然我们不能n²枚举，所以要一次性把一个向量跟多个向量判断。

先思考k = 2的情况，显然每个位置和内积非0即1，这启发我们使用二进制。

假如把一个内积看成一个B进制数或者一个多项式，变量是B，我们就能发现，如果两个向量的内积为x，那么这个多项式的值也是x。

这种情况只要B取一个奇数就行了。理由是内积每一项非0即1，而进制为奇数的话，每一项的xⁱ % 2 = 1，奇偶性不变。所以最后加起来和直接加起来的奇偶性相同。

k = 3的时候只要进制为3a + 1就行了。所以最终我们选择7进制。

然后有个很严峻的问题：我们要找一个运算使之与按位乘相对应。先想到了转成指标加法，经过一番推倒之后发现不可行。然后陷入江局......

正解：再观察一波内积式子，您就会发现这个其实是矩阵乘法中的一个位置的计算式......反正我是没发现。

那么令A = n × d的矩阵，B = A * A^T，则B_i,j就是i和j的内积。

然后我们只需检验B和全1矩阵(对角线不一定是1)是否相同即可。这有一个经典算法：随机向量法。

随机出来的向量哪一位不同，就表明在全1矩阵的哪一列中存在差异。枚举跟这个向量匹配的向量即可。

k = 3的时候，我们把B中每一个元素都取平方，这样1和2都会变成1。

那么怎么把B中的每个元素取平方呢？

把B中某个元素的式子化开，会有：

然后就做完了......

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <iostream>

const int N = 100010;

int a[N][110], now[N], C[N], D[N], E[N], MO, F[N];
int n, d;

inline bool check(int i, int j) {
    int ans = 0;
    for(int k = 1; k <= d; k++) {
        (ans += a[i][k] * a[j][k]) %= MO;
    }
    return ans;
}

inline void solve1() {
    int T = 5, f = -1;
    while((T--) && (f == -1)) {
        int Sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            C[i] = rand() & 1;
            Sum += C[i];
        }
        //mul(1, n, d, C, a, D);
        for(int i = 1; i <= d; i++) {
            D[i] = 0;
            for(int j = 1; j <= n; j++) {
                D[i] += C[j] * a[j][i];
                D[i] &= 1;
            }
        }
        //mul(1, d, n, D, aT, E);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            E[i] = 0;
            for(int j = 1; j <= d; j++) {
                E[i] += D[j] * a[i][j];
                E[i] &= 1;
            }
        }
        //mul_one(1, n, n, C, F);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            F[i] = ((Sum - C[i]) + C[i] * now[i]) & 1;
            if(E[i] != F[i]) {
                f = i;
                break;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        printf("%d %d
", f, f);
        return;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(i == f) {
            continue;
        }
        if(!check(i, f)) {
            printf("%d %d
", std::min(i, f), std::max(i, f));
            return;
        }
    }
    return;
}

inline void solve2() {
    int T = 5, f = -1;
    while((T--) && (f == -1)) {
        int Sum = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            C[i] = rand() % MO;
            Sum += C[i];
        }
        //mul(1, n, d, C, a, D);
        for(int i = 1; i <= d; i++) {
            for(int ii = 1; ii <= d; ii++) {
                int pos = (i - 1) * d + ii;
                D[pos] = 0;
                for(int j = 1; j <= n; j++) {
                    D[pos] += C[j] * a[j][i] * a[j][ii];
                    D[pos] %= MO;
                }
            }
        }
        //mul(1, d, n, D, aT, E);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            E[i] = 0;
            for(int j = 1; j <= d; j++) {
                for(int jj = 1; jj <= d; jj++) {
                    int pos = (j - 1) * d + jj;
                    E[i] += D[pos] * a[i][j] * a[i][jj];
                    E[i] %= MO;
                }
            }
        }
        //mul_one(1, n, n, C, F);
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            F[i] = ((Sum - C[i]) + C[i] * now[i]) % MO;
            if(E[i] != F[i]) {
                f = i;
                break;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        printf("%d %d
", f, f);
        return;
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        if(i == f) {
            continue;
        }
        if(!check(i, f)) {
            printf("%d %d
", std::min(i, f), std::max(i, f));
            break;
        }
    }
    return;
}

int main() {
    srand(time(0));
    int k, x;
    scanf("%d%d%d", &n, &d, &k);
    MO = k;
    bool f = (k == 2);
    for(int i = 1; i <= n; i++) {
        now[i] = 0;
        for(int j = 1; j <= d; j++) {
            scanf("%d", &x);
            a[i][j] = x % k;
            now[i] += a[i][j] * a[i][j];
        }
        now[i] %= k;
    }

    f ? solve1() : solve2();
    return 0;
}

题解里还有一种神奇的解法，使用了乘法分配率，每次把一个向量和它上面所有向量的乘积加起来跟(i-1) % MO判断。

分配一下，就是把上面向量的每一维都做前缀和，然后相乘。

这样做其实有一点问题，就是可能有乘积为0的检测不出来。不过上面那种方法也彼此彼此了。