LOJ#2540 随机算法

题意：给定图，随机一个排列，依次加点，如果加点之后不是独立集就不加。求最后得到一个最大独立集的概率。

解：就是求有多少个排列可以加出最大独立集。

显然有一个3ⁿ的状压DP，0表示没加，1表示没加上，2表示加上了。

转移的时候枚举下一个加哪个点即可。这样有30分。

然后还是过不了的。考虑怎么压成二进制。我们可以用1表示这个点不能加(与某个加入的点相邻或者已经加入)，0表示这个点可以加。

这样会损失一个信息，你就不知道当前独立集多大。所以再开一维表示独立集大小。

每次转移的时候考虑加哪一个点。顺便把它相邻的点也加上。注意它相邻的点加入的时候有顺序。具体来说，我们之前的状态中如果有x个点，那么就还有n - x个空位。而其中最前面的一个空位肯定是你主动加进去的点。所以现在要在n - x - 1个空位中放进被动加进去的点。这就是一个排列数。

然后就有了一个n2ⁿ的DP了。注意预处理出与一个点相邻的点和一个状态中点的个数。

#include <cstdio>

typedef long long LL;
const int N = 21;
const LL MO = 998244353;

struct Edge {
    int nex, v;
}edge[N * N * 2]; int top;

int n, e[N], cnt[1 << 20], nb[N];
LL f[N][1 << 20], nn[N], inv[N], invn[N];
bool vis[N];

inline void add(int x, int y) {
    top++;
    edge[top].v = y;
    edge[top].nex = e[x];
    e[x] = top;
    return;
}

inline void out(int x) {
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d", (x >> i) & 1);
    }
    return;
}

inline LL C(int n, int m) {
    return nn[n] * invn[m] % MO * invn[n - m] % MO;
}
inline LL P(int n, int m) {
    if(m > n) {
        return 0;
    }
    return nn[n] * invn[n - m] % MO;
}

int main() {
    int m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1, x, y; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y);
        add(y, x);
    }
    int lm = (1 << n);
    for(int s = 1; s < lm; s++) {
        cnt[s] = 1 + cnt[(s - (s & (-s))) >> 1];
    }
    for(int x = 0; x < n; x++) {
        nb[x] = 1 << x;
        for(int i = e[x + 1]; i; i = edge[i].nex) {
            int y = edge[i].v - 1;
            nb[x] |= (1 << y);
        }
    }
    nn[0] = inv[0] = invn[0] = 1;
    nn[1] = inv[1] = invn[1] = 1;
    for(int i = 2; i <= n; i++) {
        nn[i] = nn[i - 1] * i % MO;
        inv[i] = inv[MO % i] * (MO - MO / i) % MO;
        invn[i] = invn[i - 1] * inv[i] % MO;
    }

    int ans = 0;
    LL sum = 0;
    f[0][0] = vis[0] = 1;
    for(int i = 0; i <= n && vis[i]; i++) {
        for(int s = 0; s < lm; s++) {
            // f[i][s]
            if(!f[i][s]) {
                continue;
            }
            //printf("f %d ", i); out(s); printf(" = %lld 
", f[i][s]);
            if(i > ans) {
                ans = i;
                sum = f[i][s];
            }
            else if(i == ans) {
                sum = (sum + f[i][s]) % MO;
            }
            for(int j = 0; j < n; j++) {
                if((s >> j) & 1) {
                    continue;
                }
                int t = s | nb[j];
                // f[i + 1][t]
                (f[i + 1][t] += f[i][s] * P(n - cnt[s] - 1, cnt[t] - cnt[s] - 1) % MO) %= MO;
                vis[i + 1] = 1;
                //printf("f %d ", i + 1); out(t); printf(" += f %d ", i); out(s); printf(" * %lld 
", P(n - cnt[s] - 1, cnt[t] - cnt[s] - 1));
            }
        }
    }

    printf("%lld
", sum * invn[n] % MO);
    //printf("%d %lld 
", ans, sum);
    return 0;
}