生成函数

这可能是最让我摸不着头脑的知识点了......

《组合数学》第7章有很多好玩的例子。

反正说着也不清楚，还是刷题好了.....

CF438E 小朋友和二叉树。参考资料。

定义一个二叉树的权值为所有点权之和，每个点的点权只能在一个集合c中选择。问权值为1~m的树共有多少种。

设G(x)为数组c的生成函数，F(x)为我们的答案的生成函数，那么考虑它自己的关系，我们有：

F(x) = G(x)F²(x) + 1

这个毒瘤是怎么来的...G(x)是根的点权，F²(x)是两个儿子。 + 1是它作为子树可能为空树，此时有一个方案，就是常数项为1。

虽然这样说但还是不太明白.....

把上面那个方程解了，用求根公式可以得到一个东西，但是是不能直接算的，因为G(x)是分母，而常数项为0不能求逆。

于是分子有理化即可。需要多项式开根 + 多项式求逆.....

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>

typedef long long LL;
const int N = 100010;
const LL MO = 998244353, G = 3;
typedef LL arr[N << 4];

arr f, g, g2, A, B, inv_t, sqrt_t, r;
LL inv2;

inline LL qpow(LL a, LL b) {
    LL ans = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) ans = ans * a % MO;
        a = a * a % MO;
        b = b >> 1;
    }
    return ans;
}

inline void prework(int n) {
    static int R = 0;
    if(R == n) return;
    R = n;
    int lm = 1;
    while((1 << lm) < n) lm++;
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (lm - 1));
    }
    return;
}

inline void NTT(LL *a, int n, int f) {
    prework(n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        if(i < r[i]) std::swap(a[i], a[r[i]]);
    }
    for(int len = 1; len < n; len <<= 1) {
        LL Wn = qpow(G, (MO - 1) / (len << 1));
        if(f == -1) Wn = qpow(Wn, MO - 2);
        for(int i = 0; i < n; i += (len << 1)) {
            LL w = 1;
            for(int j = 0; j < len; j++) {
                LL t = a[i + len + j] * w % MO;
                a[i + len + j] = (a[i + j] - t) % MO;
                a[i + j] = (a[i + j] + t) % MO;
                w = w * Wn % MO;
            }
        }
    }
    if(f == -1) {
        LL inv = qpow(n, MO - 2);
        for(int i = 0; i < n; i++) {
            a[i] = a[i] * inv % MO;
        }
    }
    return;
}

/*inline void mul(const LL *a, const LL *b, LL *c, int n) {
    int len = 1;
    while(len < n) len <<= 1;
    memcpy(A, a, n * sizeof(LL)); memset(A + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    memcpy(B, b, n * sizeof(LL)); memset(B + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    NTT(A, len, 1); NTT(B, len, 1);
    for(int i = 0; i < len; i++) c[i] = A[i] * B[i] % MO;
    NTT(c, len, -1);
    memset(c + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    return;
}*/

void Inv(const LL *a, LL *b, int n) {
    if(n == 1) {
        b[0] = qpow(a[0], MO - 2);
        b[1] = 0;
        return;
    }
    Inv(a, b, n >> 1);
    /// ans = b * (2 - a * b)
    memcpy(A, a, n * sizeof(LL)); memset(A + n, 0, n * sizeof(LL));
    memcpy(B, b, n * sizeof(LL)); memset(B + n, 0, n * sizeof(LL));
    NTT(A, n << 1, 1); NTT(B, n << 1, 1);
    for(int i = 0; i < (n << 1); i++) b[i] = B[i] * (2 - A[i] * B[i] % MO) % MO;
    NTT(b, n << 1, -1);
    memset(b + n, 0, n * sizeof(LL));
    return;
}

inline void getInv(const LL *a, LL *b, int n) {
    int len = 1;
    while(len < n) len <<= 1;
    memcpy(inv_t, a, n * sizeof(LL)); memset(inv_t + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    Inv(inv_t, b, len);
    memset(b + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    return;
}

void Sqrt(const LL *a, LL *b, int n) {
    if(n == 1) {
        b[0] = sqrt(a[0]);
        b[1] = 0;
        return;
    }
    Sqrt(a, b, n >> 1);
    /// ans = (b + a / b) / 2
    Inv(b, B, n);
    memcpy(A, a, n * sizeof(LL)); memset(A + n, 0, n * sizeof(LL));
    NTT(A, n << 1, 1); NTT(B, n << 1, 1);
    for(int i = 0; i < (n << 1); i++) B[i] = A[i] * B[i] % MO;
    NTT(B, n << 1, -1);
    for(int i = 0; i < n; i++) b[i] = (b[i] + B[i]) * inv2 % MO;
    memset(b + n, 0, n * sizeof(LL));
    return;
}

inline void getSqrt(const LL *a, LL *b, int n) {
    int len = 1;
    while(len < n) len <<= 1;
    memcpy(sqrt_t, a, n * sizeof(LL)); memset(sqrt_t + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    Sqrt(sqrt_t, b, len);
    memset(b + n, 0, (len - n) * sizeof(LL));
    return;
}

/*inline void check() {
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lld", &f[i]);
    getSqrt(f, g, n);
    for(int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%lld ", (g[i] + MO) % MO);
    }
    return;
}*/

int main() {
    inv2 = (MO + 1) / 2;

    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    m++;
    for(int i = 1, x; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &x);
        g[x] = -4;
    }
    g[0] = 1; /// 1 - 4G
    getSqrt(g, g2, m);
    g2[0]++;
    getInv(g2, g, m);

    for(int i = 1; i < m; i++) {
        printf("%lld
", (2 * g[i] % MO + MO) % MO);
    }
    return 0;
}

关于指数生成函数(EGF)：若f_i为得出一个大小为i的有标号集合的方案数，相应的EGF为F(x)

g_i为得出一个由若干个集合组成的大小为i的有标号大集合的方案数，G(x)为其相应的EGF。

那么有e^F(x) = G(x)，ln(G(x)) = F(x)。

你要问我为什么？背诵吧，不为什么。两个简单的例子是森林和树，图和连通图。

而且这个东西在带权的时候同样适用。具体的说，如果f_i是选出一个大小为i的集合的所有方案权值之和

g_i为所有大集合的权值之和。且定义大集合的权值为小集合的权值之积，那么式子仍然适用。上面的是权值全为1的特殊情况。