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  • 杭电acm2049

    http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2049

    简单的错排的使用,选对的那部分的排列组合乘以后面那部分的错排。下面是错排的解释

    错排公式

      pala提出的问题: 十本不同的书放在书架上。现重新摆放,使每本书都不在原来放的位置。有几种摆法?

      这个问题推广一下,就是错排问题: n个有序的元素应有n!种不同的排列。如若一个排列式的所有的元素都不在原来的位置上,则称这个排列为错排。

      下面用递推的方法推导错排公式:

      当n个编号元素放在n个编号位置,元素编号与位置编号各不对应的方法数用M(n)表示,那么M(n-1)就表示n-1个编号元素放在n-1个编号位置,各不对应的方法数,其它类推.

      第一步,把第n个元素放在一个位置,比如位置k,一共有n-1种方法;

      第二步,放编号为k的元素,这时有两种情况.1,把它放到位置n,那么,对于剩下的n-2个元素,就有M(n-2)种方法;2,不把它放到位置n,这时,对于这n-1个元素,有M(n-1)种方法;

      综上得到

      M(n)=(n-1)[M(n-2)+M(n-1)]

      特殊地,M(1)=0,M(2)=1

      下面通过这个递推关系推导通项公式:

      为方便起见,设M(k)=k!N(k), (k=1,2,…,n)

      则N(1)=0,N(2)=1/2

      n>=3时,n!N(n)=(n-1)(n-1)!N(n-1)+(n-1)!N(n-2)

      即 nN(n)=(n-1)N(n-1)+N(n-2)

      于是有N(n)-N(n-1)=-[N(n-1)-N(n-2)]/n=(-1/n)[-1/(n-1)][-1/(n-2)]…(-1/3)[N(2)-N(1)]=(-1)^n/n!

      因此

      N(n-1)-N(n-2)=(-1)^(n-1)/(n-1)!

      N(2)-N(1)=(-1)^2/2!

      相加,可得

      N(n)=(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!

      因此

      M(n)=n![(-1)^2/2!+…+(-1)^(n-1)/(n-1)!+(-1)^n/n!]

      可以得到

      错排公式为M(n)=n!(1/2!-1/3!+…..+(-1)^n/n!)

      此外也可以用容斥原理证明:

      正整数1、2、3、……、n的全排列有n!种,其中第k位是k的排列有(n-1)!,当k取1、2、3、……、n时,共有n*(n-1)!种排列,由于是错排,这些排列应排除,但是此时把同时有两个数不错排的排列多排除了一次,应补上;在补上时,把同时有三个数不错排的排列多补上了一次,应排除;……;继续这一过程,得到错排的排列种数为

      M(n)=n!-n!/1!+n!/2!-n!/3!+…+(-1)^n*n!/n!=sigma(k=2~n) (-1)^k*n!/k!

      即M(n)=n![1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+1/4!+..+(-1)^n/n!]

      注:sigma表示连加符号,(k=2~n)是连加的范围

      另外:书上的错排公式为Dn=n!(1/0!-1/1!+1/2!-1/3!-.....+(-1)^n/n!),此公式算n很大时就很不方便.后来发现它可以化简为1个优美的式子Dn=[n!/e+0.5],[x]为取整函数.

      公式证明较简单.观察一般书上的公式,可以发现e-1的前项与之相同,然后作比较可得/Dn-n!e-1/<1/(n+1)<0.5,于是就得到这个简单而优美的公式(此仅供参考)

    #include<stdio.h>
    int main()
    {
        __int64 i,ans,n,m,a,b,f[21]={0,0,1};
        int c,j;
        for(i=3;i<21;i++)
          f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
        scanf("%d",&c);
        while(c--)
        {
           scanf("%I64d%I64d",&n,&m);
           a=b=1;
           for(i=n,j=m;j>0;j--,i--)
            {
                b*=i;
                a*=j;
            }
    
           printf("%I64d\n",b/a*f[m]);
        }
        return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/huzhenbo113/p/3095212.html
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