POJ 2533简单dp

http://poj.org/problem?id=2533

简单的dp运用于求最长有序子序列，这里是递增

我们假设原数列定义为数组a[]，然后定义一个数组b[i],表示以a[i]结尾的最长公共子序列的长度,只要求出所有的b[i]数组也就可以确定最长的公共子序列，

            那么我们根据已经求出的b[0]--b[i-1]，来求b[i]呢，，也就如何求出以a[i]结尾的最大公共子序列的长度呢，

            此时在a[0]-a[i-1]范围内，已经求出多个长度的公共子序列，且最大长度的一个序列的长度为s，这个序列的最后一个元素为t，那么

 

            1.如果a[i]<t ,那么当前最大子序列的长度为s+1，而且这个序列的最后一个元素就是a[i],即b[i]=s+1

            2.如果a[i]=t，那么这个子序列的长度不变，仍为s，b[i]=s;

            3.如果a[i]>t,这时候就会比较的麻烦了，因为a[i]不可能成为长度为s的最长公共子序列的最后一项了，然后与一个长度为s-1的公共子序列的最后一项进行比较。。直至小于某一个长度为s1的子序列的最后一个元素t1，如果a[i]仍然大于t1，那么就继续向长度更小的子序列的最后一个元素进行比较，（找寻，比较的过程中一定要同时跟已经保存好在b[i]里长度比较，这样子最后才能得到最长的）知道找到一个合适的子序列长度s2，那么此时b[i]=s2+1；如果a[i]比所有的以求子序列的最后一个元素都大话，那么最后就赋值b[i]=1;即以该元素为结尾的子序列长度为1.

              那么如何保存这些已经查找出来的子序列的最后一一个元素呢  ，我们定义一个数组c[],即c[i]就是代表长度为i的当前最长子序列的最后一个元素，我们最终的元素超找比较就是在c[]数组中进行的，b[i]最后可以用于最终的最长子序列的输出。

 

               按照上述的条件得到的c[i]肯定是单调递增或者递减的，如果采用二分查找的话那么时间复杂度为O(n*lgn)..

 

动态的转移公式为：

假设f(i)代表以a[i]结尾的最长单调自增子序列的长度：

        /    f(i-1)+1                                          , a[i]>a[i-1]

f(i)= ---  f(i-1)                                               ,a[i]==a[i-1]

           max(max({f(j)|a[i]<a[j],i>j}+1),1)  ,a[i]<a[i-1]

/*Source Code

Problem: 2533        User: 297752873
Memory: 168K        Time: 0MS
Language: C        Result: Accepted
Source Code*/
#include<stdlib.h> 
#include<stdio.h>
#include<string.h> 
int a[1000000],b[1000000],n;
int LIS()
{
    int i,j,max=0;
    for(i=0;i<n;i++)b[i]=1;//初始化为1，就是在所有数都比他大的情况下自成一列 
    for(i=1;i<n;i++)
    {
       for(j=0;j<i;j++)
          if(a[j]<a[i]&&b[i]<b[j]+1)//前面的保证序列的递增，后面的可以保证b[i]中保留的一定是以a[i]为结尾的最长递增序列 
            b[i]=b[j]+1;
    }
    for(i=0;i<n;i++)
    if(max<b[i])max=b[i];
    return max;
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d",&n);
    for(i=0;i<n;i++)
    scanf("%d",&a[i]);
    printf("%d
",LIS());
    //system("pause");
    return 0;
}