概率论之联合分布

我之前一直专注于单一的随机变量及其概率分布。现在开始考虑多个随机变量的情况。联合分布(joint distribution)描述了多个随机变量的概率分布，是对单一随机变量的自然拓展。联合分布的多个随机变量都定义在同一个样本空间中。

 

多个随机变量并存

离散随机变量的联合分布

我们先从离散的情况出发，了解多个随机变量并存的含义。

之前说，一个随机变量是从样本空间到实数的映射。然而，所谓的映射是人为创造的。从一个样本空间，可以同时产生多个映射。比如，我们的实验是连续三次投硬币，样本空间为

Ω={hhh,hht,hth,thh,htt,tht,tth,ttt}

h为正面，t为反面。在同一样本空间上，我们可以定义多个随机变量，比如:

• X: 投掷为正面的总数，可以取值0，1，2，3
• Y: 最后一次出现负面的总数，可以取值0，1
• Z: 将正面记为10，负面记为5，第一次与第三次取值的差，可以有5, -5, 0

这三个随机变量可以看作一个有三个分量的矢量。所以定义在同一样本空间的多随机变量，是一个从样本空间到矢量的映射。 

(从这个角度上说，单一随机变量是一个从样本空间到一个有一个分量的矢量的映射)

如果样本空间Ω中每个结果出现的概率相等。而样本空间中共有8个结果，那么个每个结果的出现的概率都是1/8。据此，我们可以计算联合概率，比如

P(X=0,Y=1)=P({ttt})=1/8

P(X=1,Y=1)=P({htt,tht})=2/8

对于X=x,Y=y，我们寻找样本空间中满足这两个取值的所有元素。这些元素构成一个样本空间的子集，该子集的概率就是P(X=x,Y=y)的联合概率。p(x,y)=P(X=x,Y=y)称为联合概率质量函数(joint PMF, joint probability mass function)。联合概率可以看做两个事件同时发生时的概率，事件A为X=x，事件B为Y=y，即P(A∩B)。

找到所有可能取值组合的概率，就找到了这两个随机变量的联合分布:

X	Y	P(X,Y)	对应子集
0	0	0	Φ
1	0	1/8	tth
2	0	2/8	thh, hth
3	0	1/8	hhh
0	1	1/8	ttt
1	1	2/8	htt, tht
2	1	1/8	hht
3	1	0	Φ

 联合分布

联合分布描述了所有可能的取值情况。因此，联合概率密度函数的累积和为1。

 

连续随机变量的联合分布

连续随机变量的概率是变量在某个区间取值的概率。为了表示多个连续随机变量的联合分布，我们需要表达随机变量在两个区间的概率，即P(a≤X≤b,c≤Y≤d)。

 

正如单随机变量的情况，我们可以更方便的使用联合概率密度函数(joint PDF, joint probability density function)，即

P(a≤X≤b,c≤Y≤d)=∫ba∫dcf(x,y)dxdy

f(x,y)就是描述X和Y的联合分布的联合概率密度函数。

 

联合概率密度函数描述了所有可能取值的情况，因此有

∫+∞−∞∫∞−∞f(x,y)dxdy=1

 

实例

下面是两个连续随机变量的联合PDF:

f(x,y)={2x0forfor0≤x,y≤1else

通过积分，计算X在0到0.5，而Y在0到1的概率:

P(0≤X≤0.5,0≤Y≤1)=∫0.50∫102xdxdy=0.25

 

我们可以绘制f(x,y)的分布图形，即一个二维的平面。图中的颜色标记了f(x, y)值的大小。如下: 

可以看到，f(x, y)随X增大而增大，在X值确定时，f(x, y)不随Y变化。

# By Vamei

from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
from matplotlib.ticker import LinearLocator, FormatStrFormatter
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
X = np.arange(0, 1, 0.05)
Y = np.arange(0, 1, 0.05)
X, Y = np.meshgrid(X, Y)
Z = 2*X
surf = ax.plot_surface(X, Y, Z, rstride=1, cstride=1, cmap=cm.coolwarm,
        linewidth=0, antialiased=False)
ax.set_zlim(0.0, 2.5)

ax.zaxis.set_major_locator(LinearLocator(10))
ax.zaxis.set_major_formatter(FormatStrFormatter('%.02f'))

ax.set_xlabel("X")
ax.set_ylabel("Y")
ax.set_zlabel("f(x,y)")
fig.colorbar(surf, shrink=0.5, aspect=5)

plt.show()

 

边缘概率

联合分布包含了多个随机变量的分布信息。我们当然可以从联合分布中，提取出任意一个单一随机变量的分布，也就是所谓的边缘分布(marginal distribution)。

对于离散随机变量，可以获得边缘概率质量函数(marginal pmf):

pX(x)=∑allyp(x,y)

pY(y)=∑allxp(x,y)

在求X的单一边缘分布时， 我们累加了相同x值、不同y值时的多个联合概率，从而获得该x值的的总体概率，即边缘概率。

 

连续随机变量X的边缘密度函数(marginal pdf, marginal probability density function)可以定义为

fX(x)=∫+∞−∞f(x,y)dy

fX(x)是联合密度函数对Y的积分。通过积分，我们将不同Y取值时的联合概率加在一起，就获得纯粹的单一X的分布状况。

类似的，Y的边缘密度函数为

fY(y)=∫+∞−∞f(x,y)dx

 

取离散随机分布的例子，即掷三次硬币

	0	1	2	3	p(y)
0	0	1/8	2/8	1/8	1/2
1	1/8	2/8	1/8	0	1/2
p(x)	1/8	3/8	3/8	1/8

边缘概率是对各行和列的累加。最后一列p(y)是Y的分布，Y有1/2的概率取0，1/2的概率取1。最后一行p(x)是X的分布。

 

取连续随机分布的例子，即下面的连续分布:

f(x,y)={2x0forfor0≤x,y≤1else

可以得到:

fX(x)=2x,0≤x≤1

fY(y)=1,0≤y≤1

 

条件分布

我们之前基于事件介绍了条件概率，即如果事件B发生，那么事件A发生的概率。相同的概念可以引申到随机变量。随机变量取某个值，这可以看做一个事件。我们想知道，随机变量Y取值y，另一个随机变量X为x的概率。

 

与事件的条件概率类似，假设pY(y)≠0，在Y=y的条件下，随机变量X取值为x的概率定义为: 

p(x|y)=p(x,y)pY(y)

即X=x,Y=y同时发生的概率，除以Y取值为y的的概率。

 

以掷三次硬币为例。条件为Y值取值0，即最后一次投掷为正面时。此时，X取值为2有两种可能，即前两次为ht和th。由于前两次投掷有四种组合，所以概率为0.5。

我们可以通过条件概率的公式计算并验证:

p(2|0)=p(2,0)pY(0)=2/81/2=0.5

 

如果说概率是分一个总和为1的大饼，如果大饼分八块，每块就是1/8。假设半个饼上撒胡椒，另半个饼上撒辣椒。那么在胡椒饼(相当于我们的条件)上选取一块的概率，就是1/4。此时，也就是用原来的概率除以胡椒饼所占的比重。

 

对于连续随机变量，假设fY(y)≠0，给定Y=y，随机变量X的条件分布为:

f(x|y)=f(x|Y=y)=f(x,y)fY(y)

 

独立随机变量

正如事件之间可以相互独立一样，随机变量之间也可以相互独立。当X独立于Y时，我们可以相像，Y的取值，将不影响X的概率。也就是说

p(x|y)=pX(x)

这意味着，当且仅当

p(x,y)=pX(x)pY(y)

时，X和Y相互独立。

可以验证，连续投掷三次硬币的例子中，X和Y并不独立，比如

p(1,1)=2/8

pX(1)=3/8

pY(1)=1/2

因此，

p(1,1)≠pX(1)pY(1)

X和Y并不独立。

对于连续随机变量来说，当且仅当

f(x,y)=fX(x)fY(y)

时，X和Y相互独立。

对于分布

f(x,y)={2x0forfor0≤x,y≤1else

使用之前获得的边际分布，可以验证

f(x,y)=fX(x)fY(y)

因此，对于该分布来说，X和Y相互独立。

 

总结

通过联合分布，我们将单随机变量的分布拓展到多随机变量的分布。同样的，在单随机变量中引入的条件概率，也可以使用到多随机变量。我们还探讨了随机变量的独立性。

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