最优矩阵链乘

一.问题描述　　

　　与分治法不同的是动归的子问题间不是相互独立的，前一个往往为后一个提供信息。　

　　看下面一个例子，计算三个矩阵连乘{A1，A2，A3}；维数分别为10*100 , 100*5 , 5*50   按此顺序计算需要的次数（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次   按此顺序计算需要的次数（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次  

　　所以问题是：如何确定运算顺序，可以使计算量达到最小化。  

二.问题分析

　　枚举显然不可，如果枚举的话，相当于一个“完全加括号问题”，次数为卡特兰数,卡特兰数指数增长，必然不行。  

　　令m[i][j]表示第i个矩阵至第j个矩阵这段的最优解。 显然如果i=j，则m[i][j]这段中就一个矩阵，需要计算的次数为0；如果i>j，则m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]Xp[k]Xp[j]},其中k,在i与j之间游荡，所以i<=k<j ;

　　注意的问题：计算顺序！！！   因为你要保证在计算m[i][j]查找m[i][k]和m[k+1][j]的时候，m[i][k]和m[k+1][j]已经计算出来了。

　　下面采用记忆化搜索实现。

三.程序实现

　　

#include <iostream>   
using namespace std;  
const int N = 105;   
int c[N][N],s[N][N],p[N];  

 //根据s[][]记录的各个子段的最优解，将其输出
void traceback(int i,int j)
{
    if(i==j)
        return ;
    traceback(i,s[i][j]);
    traceback(s[i][j]+1,j);
    cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
}
 
int chain(int i,int j)  
{  
    if(c[i][j]>0)
        return c[i][j];  
    if(i==j)
        return 0; 
    //初始化 
    int u=chain(i,i)+chain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];  
    s[i][j]=i;  
    for(int k=i+1;k<j;k++)  
    {  
        int t=chain(i,k)+chain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];  
        if(t<u)  
        {  
            u=t;  
            s[i][j]=k;  
        }  
          
          
    }  
    c[i][j]=u;  
    return u;  
}  
int main(int argc, char *argv[])  
{  
    int n,i,j;  
    cin>>n;  
    for(i=0;i<=n;i++)  
    cin>>p[i];  
    cout<<chain(1,n)<<endl;  
    traceback(1,n);
    //while(1);
    return 0;  
}