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  • 扩展欧几里得算法

      问题:ax+by=c,已知a、b、c,求解使该等式成立的一组x,y。其中a、b、c、x、y均为整数 a,b的最大公约数为gcd(a,b)。如果c不是gcd(a,b)的倍数,则该等式无解,因为等式左边除以gcd(a,b)是整数,而等式右边除以gcd(a,b)后为小数。因此,只有当c是gcd(a,b)的倍数的时候,该等式有解。这样,可以通过计算使ax1+by1=gcd(a,b)成立的x1、y1,然后有x=(c/gcd(a,b))*x1,y=(c/gcd(a,b))*y1,得到x,y。 问题就被转换为求使ax+by=gcd(a,b)成立的一组x,y。  

      如果b不为零,根据欧几里德定理,可以设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2=bx2+(a-(a/b)*b)y2 化简后有x1=y2,y1=x2-(a/b)y2。因此x1,y1依赖于x2,y2,同理依次类推递归调用求出x3,y3,x4,y4……,类似于辗转相除,直到b=0时,求出xn,yn,便可以推出x1,y1的值。

      

     1 // 返回a,b的最大公约数
     2 int extended_euclid(int a, int b, int &x, int &y)
     3 {
     4     if(b == 0) // gcd(a, b) == a
     5      {
     6          x = 1;
     7          y = 0;
     8         return a;
     9      }
    10     int n = extended_euclid(b, a%b, x, y);
    11     int tmp = x;
    12      x = y;
    13      y = tmp - static_cast<int>(a/b)*y;
    14     return n;
    15 }

       其它解为x0 + k*b/gcd(a,b),y0-k*a/gcd(a,b),具体参考白书P179.

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