题面
有R红色立方体，G绿色立方体和B蓝色立方体。每个立方体的边长是1。现在有一个N × N的木板，该板被划分成1×1个单元。现在要把所有的R+G+B个立方体都放在木板上。立方体必须放置在单元格内，单元格可以竖立放置多个立方体。
放置在板上的立方体可以被视为“建筑物”。一个“建筑物”被称为“美丽建筑物”，当且仅当：人站在南面，向北面望过去，观察建筑物时，所有可见立方体都是相同的颜色。
例如，在下图中，左侧建筑物是“美丽建筑物”，而右侧建筑物则不是。
问题是：给出R，G，B，N，有多少种不同的“美丽建筑物”，答案模1000000007。
输入：
多组测试数据。
第一行，一个整数group。表示有group组测试数据。1 <= group <= 8
每组测试数据格式：
一行，4个整数：R,G,B,N。 0<=R,G,B<26。 1 <= N <26。
输出：
共group行，每行一个整数。
样例输入：
4
1 0 1 2
1 1 2 1
2 2 1 3
0 0 10 12
样例输出：
4
0
162
372185933
思路：DP
我们对于每一个颜色做为看得见的颜色做一次dp求解，最后再将答案统计起来就可以了。
不妨设看见的是Red（R），被挡住的是Gueen（G）和Blue（B）
那么我们从南向北看每一列都是独立的，所以就可以把大问题化为子问题。
那么可以设出dp方程：
f[i][x][y][z]表示前i列用了x个R，y个G，z个B的方案数
f[i][x][y][z]+=f[i-1][x-a][y-b][z-c]*（这一列用了a个R，b个G，c个B的方案数）
那么就解决下一个问题： 如何计算 这一列用了a个R，b个G，c个B的方案数。
那么我们设
g[x][y][z]表示一列使用x个R，y个G，z个B的方案数。
计算一列满足条件的方案数时还要考虑高度，很明显，我们每一列能看到的R颜色数量就是这一列的最高高度。所以
我们又设:
s[i][x][y][z][h]表示一列内，前i行，使用x个R，y个G，z个B，最高高度为h的方案数
那么g数组就是：
i表示枚举的最高高度
g[x][y][z]+=s[n][x][y][z][i];
s[i][x][y][z][i]表示到第n行最高高度是i，使用x个R，y个G，z个B，最高高度为h的方案数。
将他们全部相加就是g数组的值。
S数组的转移比较复杂一点，分两种情况：
1、这一行不是最高高度
2、这一行变成了最高高度
那么对于第一种情况：枚举自身的高度，用R颜色数量，G颜色数量，算出B颜色数量，然后进行转移
对于第二种情况：枚举之前的最高高度，用R颜色数量，G颜色数量，算出B颜色数量，然后进行转移。
第二种情况相比于第一种要多出一个条件，就是多出来的高度必须是R颜色的，不然就不满足方程性质。
关于S数组的转移方式，枚举出来的方式只是使用的数量，所以还有计算出这些方块的排列方式，即可重复排列，计算公式：是总数的阶乘除以各种颜色数量的阶乘，在这道题为
n=x+y+z
n!/x!/y!/z!
计算可重集排列可以使用逆元相关知识，或者暴力预处理也可以。
S数组转移：
a表示用R颜色数量，b表示用G颜色数量，c表示用B颜色数量
第一种：
s[n][x][y][z][h]+=s[n-1][x-a][y-b][z-c][h]*可重复排列(a,b,c)
i表示枚举的之前最高高度
第二种：
s[n][x][y][z][h]+=s[n-1][x-a][y-b][z-c][i]*可重复排列(a-(h-i),b,c)
a-(h-i)是因为有a-(h-i)个R颜色是必须选的，不能掉换位置。
边界问题：下面代码有注释
那么当S,G,F数组都处理完了就可以直接累加答案了。时间复杂度：O(n^8)
写法
关于这道题的写法，推荐使用记忆化搜索式写法，比较简单易懂，并且我这种写法转换成O(n^6)会写起来比较方便，所以推荐写成记忆化搜索形式。
如果还有什么不明白的可以详见代码注释，下面已经标明了每一步的作用。
//smoj2806 建筑物 O(n^8) 暴力写法40分
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
#define maxn 10001
using namespace std;
int mul_inv[maxn],mul[maxn],inv[maxn],R,G,B,n;
int S[26][26][26][26][26],F[30][30][30][30],g[30][30][30],T;
long long Rearrangeable(int x,int y,int z){ //计算可重集：n!/x!/y!/z!
int n=x+y+z;
return ((((mul_inv[x]*mul_inv[y])%mod)*mul_inv[z])%mod)*mul[n]%mod; //使用逆元计算
}
int s(int i,int x,int y,int z,int h){ //计算S数组
long long sum=0;
if(i==1){ //边界
if(x==h&&(y+z)==0)return S[i][x][y][z][h]=1; //如果剩下的全是x颜色和第一行最高高度是x的个数就说明可以
return S[i][x][y][z][h]=0; //不然这种方案就不行
}
if(S[i][x][y][z][h]!=-1){return S[i][x][y][z][h]%mod;} //记忆化
for(int h2=0;h2<=h;h2++){ //my height，枚举自己这一行的高度
for(int a=0;a<=x&&a<=h2;a++){ //枚举用了几个x颜色
for(int b=0;b<=y&&b+a<=h2;b++){ //枚举用了几个y颜色
int c=h2-a-b; //计算用了几个z颜色
if(c<=z) //用的z颜色个数要需要小于z的总个数
sum+=s(i-1,x-a,y-b,z-c,h)%mod //搜索下去累加答案
*Rearrangeable(a,b,c)%mod; //乘上可重集
sum%=mod;
}
}
}
for(int h2=0;h2<h;h2++){ //those max height，枚举自己前面的最高高度
for(int a=0;a<=x&&a<=h;a++){
for(int b=0;b<=y&&a+b<=h;b++){
int c=h-a-b,a1=h-h2; //a1表示自己超过之前最高高度几个
if(a1<=a&&c<=z) //判断满不足满足条件 : 1、必须用的a1<=选择用的a 2、同上my height
sum+=s(i-1,x-a,y-b,z-c,h2)%mod
*Rearrangeable(a-a1,b,c)%mod; //可重集能选的少了a1
sum%=mod;
}
}
}S[i][x][y][z][h]=sum%mod;
return S[i][x][y][z][h]%mod; //返回
}
int getG(int x,int y,int z){ //计算g数组
long long sum=0;
if(g[x][y][z]!=-1)return g[x][y][z]%mod; //记忆化
for(int i=0;i<=x;i++)sum+=s(n,x,y,z,i)%mod,sum%=mod;//累加全部高度的S数组
g[x][y][z]=sum%mod;
return g[x][y][z]%mod; //返回
}
int f(int i,int x,int y,int z){ //计算F数组
long long sum=0;
if(i==1){return getG(x,y,z)%mod;} //边界，第一列就把全部放完
if(F[i][x][y][z]!=-1)return F[i][x][y][z]%mod; //记忆化
for(int a=0;a<=x;a++){
for(int b=0;b<=y;b++){
for(int c=0;c<=z;c++){
sum+=f(i-1,x-a,y-b,z-c)%mod //往下搜
*getG(a,b,c)%mod; //乘上那一列的方案数
sum%=mod;
}
}
}F[i][x][y][z]=sum%mod;
return F[i][x][y][z]; //返回
}
signed main(){
freopen("2806.in","r",stdin);
freopen("2806.out","w",stdout);
memset(S,-1,sizeof(S));
mul[0]=1;mul_inv[0]=1;inv[1]=1; //以下4行计算逆元、阶乘、阶乘逆元
for(int i=1;i<=100;i++)mul[i]=mul[i-1]*i%mod;
for(int i=2;i<=100;i++)inv[i]=(mod-mod/i)%mod*inv[mod%i]%mod;
for(int i=1;i<=100;i++)mul_inv[i]=mul_inv[i-1]%mod*inv[i]%mod;
scanf("%lld",&T);
while(T--){
memset(F,-1,sizeof(F));
memset(g,-1,sizeof(g));
long long ans=0;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&R,&G,&B,&n);
ans+=f(n,R,G,B);ans%=mod;ans+=f(n,G,R,B);ans+=f(n,B,R,G); //累加以3种不同颜色为可见颜色的方案
printf("%lld
",ans%mod); //输出
}
return 0;
}
当你理解O(n^8)时，你就可以轻松理解O(n^6)的思路。
第一层优化 O(N^6)
其实我们在转移的dp方程的时候可以发现，被挡住的那G，B两个颜色几乎没有什么区别，他们不会影响方程的性质，只要R颜色能挡住他们，他们就不会影响一个方案的正确性。
那么我们可以思考，可不可以将G和B两种颜色混合成一种颜色来降低复杂度呢？
当然可以！将两种颜色混合成一种颜色后可以将复杂度降为O(N^6)的，大大提高效率。
但问题来了，如果将两种混合成一种，计算可重复排列会出偏差，江来是要付泽任的，你民不民白！
那么怎么解决呢？我们从全局来想，如果我们已经构成了一个合理的方案。那么现在，我们把全部的G和B都变为Y(Yellow)，那这一样是看过去只有R的，我们想，在这全部的Y里，有x个是G，y
个是B，那么我们从Y中取x个染成G，其余染成B，那么不就是原来的其中一种方案嘛！
所以每次计算最后成上C(G+B,G)或C(G+B,B)，两者是一样的。
所以我们把3种颜色变为2种颜色，答案最后乘上一个组合数就可以了。时间复杂度：O(N^6)，足矣！
写法
其实相比于O(N^8)的写法，O(N^6)的并没有多大的改造，我们可以将记忆化搜索刚开始传进去的
f(n,R,G,B)
改为
f(n,R,G+B,0)
就可以轻松实现O(N^8)到O(N^6)的飞跃。
具体实现看代码，原来O(N^8)的注释就不标了
//smoj2806 建筑物 O(n^6) 100分
#include<bits/stdc++.h>
#define mod 1000000007
#define int long long
#define maxn 10001
using namespace std;
int mul_inv[maxn],mul[maxn],inv[maxn],R,G,B,n;
int S[26][26][5][51][26],F[30][30][30][60],g[30][30][60],T;
long long Rearrangeable(int x,int y,int z){
int n=x+y+z;
return ((((mul_inv[x]%mod*mul_inv[y]%mod)%mod)*mul_inv[z]%mod)%mod)*mul[n]%mod;
}
int C(int n,int m){ //组合数计算
return (mul[n]%mod*((mul_inv[n-m]%mod*mul_inv[m]%mod)%mod))%mod; //还是用逆元
}
int s(int i,int x,int y,int z,int h){ //没变
long long sum=0;
if(i==1){
if(x==h&&(y+z)==0)return S[i][x][y][z][h]=1;
return S[i][x][y][z][h]=0;
}
if(S[i][x][y][z][h]!=-1){return S[i][x][y][z][h]%mod;}
for(int h2=0;h2<=h;h2++){ //my height
for(int a=0;a<=x&&a<=h2;a++){
for(int b=0;b<=y&&b+a<=h2;b++){
int c=h2-a-b;
if(c<=z)
sum+=s(i-1,x-a,y-b,z-c,h)%mod*Rearrangeable(a,b,c)%mod;
sum%=mod;
}
}
}
for(int h2=0;h2<h;h2++){ //those max height
for(int a=0;a<=x&&a<=h;a++){
for(int b=0;b<=y&&a+b<=h;b++){
int c=h-a-b,a1=h-h2;
if(a1<=a&&c<=z)
sum+=s(i-1,x-a,y-b,z-c,h2)%mod*Rearrangeable(a-a1,b,c)%mod;
sum%=mod;
}
}
}
S[i][x][y][z][h]=sum%mod;
return S[i][x][y][z][h]%mod;
}
int getG(int x,int y,int z){ //没变
long long sum=0;
if(g[x][y][z]!=-1)return g[x][y][z]%mod;
for(int i=0;i<=x;i++)sum+=s(n,x,y,z,i)%mod,sum%=mod;
g[x][y][z]=sum%mod;
return g[x][y][z]%mod;
}
int f(int i,int x,int y,int z){ //没变
long long sum=0;
if(i==1){return getG(x,y,z)%mod;}
if(F[i][x][y][z]!=-1)return F[i][x][y][z]%mod;
for(int a=0;a<=x;a++){
for(int b=0;b<=y;b++){
for(int c=0;c<=z;c++){
sum+=f(i-1,x-a,y-b,z-c)%mod*getG(a,b,c)%mod;
sum%=mod;
}
}
}
F[i][x][y][z]=sum%mod;
return F[i][x][y][z];
}
signed main(){
freopen("2806.in","r",stdin);
freopen("2806.out","w",stdout);
memset(S,-1,sizeof(S));
memset(F,-1,sizeof(F));
memset(g,-1,sizeof(g));
mul[0]=1;mul_inv[0]=1;inv[1]=1;
for(int i=1;i<=100;i++)mul[i]=mul[i-1]*i%mod;
for(int i=2;i<=100;i++)inv[i]=(mod-mod/i)%mod*inv[mod%i]%mod;
for(int i=1;i<=100;i++)mul_inv[i]=mul_inv[i-1]%mod*inv[i]%mod;
scanf("%lld",&T);
while(T--){
//memset(S,-1,sizeof(S));
memset(F,-1,sizeof(F));
memset(g,-1,sizeof(g));
long long ans=0;
scanf("%lld%lld%lld%lld",&R,&G,&B,&n);
ans+=f(n,R,0,G+B)%mod*C(G+B,B)%mod; ans%=mod; //将R作为可见颜色
ans+=f(n,G,0,R+B)%mod*C(R+B,B)%mod; ans%=mod; //将G作为可见颜色
ans+=f(n,B,0,R+G)%mod*C(R+G,R)%mod; ans%=mod; //将B作为可见颜色
printf("%lld
",ans%mod);
}
return 0;
}
那么这个复杂度就可以顺利地通过此题了，当然，还有下一层优化，可以进一步优化成O(N^5)的，在这里就先不说了，大家自己下去好好想想。