动态规划-状态压缩-覆盖

2020-03-01 23:08:51

问题描述：

你有一块棋盘，棋盘上有一些格子已经坏掉了。你还有无穷块大小为1 * 2的多米诺骨牌，你想把这些骨牌不重叠地覆盖在完好的格子上，请找出你最多能在棋盘上放多少块骨牌？这些骨牌可以横着或者竖着放。

输入：n, m代表棋盘的大小；broken是一个b * 2的二维数组，其中每个元素代表棋盘上每一个坏掉的格子的位置。

输出：一个整数，代表最多能在棋盘上放的骨牌数。

示例 1：

输入：n = 2, m = 3, broken = [[1, 0], [1, 1]]
输出：2
解释：我们最多可以放两块骨牌：[[0, 0], [0, 1]]以及[[0, 2], [1, 2]]。

示例 2：

输入：n = 3, m = 3, broken = []
输出：4
解释：下图是其中一种可行的摆放方式

限制：

1 <= n <= 8
1 <= m <= 8
0 <= b <= n * m

问题求解：

最难考虑到的就是我们优先放置竖排，最后放置横排即可遍历当前行的所有可行解。

    public int domino(int m, int n, int[][] broken) {
        int[][] dp = new int[m + 1][1 << n];
        int[][] board = new int[m][n];
        for (int[] b : broken) board[b[0]][b[1]] = 1;
        int[] states = new int[m + 1];
        states[0] = (1 << n) - 1;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            int state = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if (board[i - 1][j] == 1) state |= (1 << (n - 1 - j));
            }
            states[i] = state;
        }
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int u = 0; u < 1 << n; u++) {
                if ((u & states[i - 1]) != 0) continue;
                int prev = u | states[i - 1];
                for (int v = 0; v < 1 << n; v++) {
                    if ((v & states[i]) != 0) continue;
                    // 枚举竖放的位置
                    for (int k = v;; k = (k - 1) & v) {
                        if ((k & prev) == 0) {
                            dp[i][v] = Math.max(dp[i][v], calc_1(k) + calc_2(v ^ k) + dp[i - 1][u]);
                        }
                        if (k == 0) break;
                    }
                }
            }
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < 1 << n; i++) res = Math.max(res, dp[m][i]);
        return res;
    }
    
    private int calc_1(int num) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < 32; i++) if ((num & (1 << i)) != 0) res += 1;
        return res;
    }
    
    private int calc_2(int num) {
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < 32;) {
            if ((num & (1 << i)) != 0 && i + 1 < 32 && (num & (1 << (i + 1))) != 0) {
                res += 1;
                i += 2;
            }
            else {
                i += 1;
            }
        }
        return res;
    }

本题的最优解是使用二分图匹配匈牙利算法求解，待更新。