2018-03-13 17:08:57
最短路径问题是图论中一个经典的问题，Dijkstra算法更是大名鼎鼎。然而纵是如此著名的算法也有其不擅长的领域，也就是带有负权边的图是无法使用Dijkstra算法来进行最短路计算的。理由也很简单，每次dijkstra都是将目前的额最短路添加到集合中，这也就保证了，下一次的最短路径是肯定要长于之前添加进去的最短路径的，然而在有负权边的时候，这个推论就会被打破，最后会导致整个Dijkstra算法崩溃。
那么，难道带有负权边的最短路径问题就没有解法了么？
答案显然是否定的，这里就会介绍两种求解带有负权边的图的最短路径求解的算法，一是Bellman Ford算法，二是SPFA算法。
一、Bellman Ford算法
贝尔曼-福特算法（英语：Bellman–Ford algorithm），求解单源最短路径问题的一种算法，由理查德·贝尔曼（Richard Bellman） 和 莱斯特·福特 创立的。有时候这种算法也被称为 Moore-Bellman-Ford 算法，因为Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。
Bellman Ford算法每次对所有的边进行松弛，每次松弛都会得到一条最短路径，所以总共需要要做的松弛操作是V - 1次。在完成这么多次松弛后如果还是可以松弛的话，那么就意味着，其中包含负环。
procedure BellmanFord(list vertices, list edges, vertex source)
// 该实现读入边和节点的列表，并向两个数组（distance和predecessor）中写入最短路径信息
// 步骤1：初始化图
for each vertex v in vertices:
if v is source then distance[v] := 0
else distance[v] := infinity
predecessor[v] := null
// 步骤2：重复对每一条边进行松弛操作
for i from 1 to size(vertices)-1:
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
distance[v] := distance[u] + w
predecessor[v] := u
// 步骤3：检查负权环
for each edge (u, v) with weight w in edges:
if distance[u] + w < distance[v]:
error "图包含了负权环"
二、SPFA算法
求单源最短路的SPFA算法的全称是：Shortest Path Faster Algorithm。 SPFA算法是西南交通大学段凡丁于1994年发表的。松弛操作必定只会发生在最短路径前导节点松弛成功过的节点上，用一个队列记录松弛过的节点，可以避免了冗余计算。复杂度可以降低到O(kE)，k是个比较小的系数(并且在绝大多数的图中，k<=2，然而在一些精心构造的图中可能会上升到很高)。
SPFA算法可以认为是对Bellman Ford算法的优化，但不论如何，这是在最短路径问题中由中国学生提出的算法，算法的核心思路并不复杂，主要的操作就是维护一个candidate队列，最开始的时候只有s，然后对s的邻接边进行松弛，如果可以松弛，则判断一下当前结点是否在队列中，如果不在的话，那么将该结点加入队列，重复操作，知道队列为空。
从理性的角度来分析这个算法的合理性：
只要最短路径存在，上述SPFA算法必定能求出最小值。证明：每次将点放入队尾，都是经过松弛操作达到的。换言之，每次的优化将会有某个点v的最短路径估计值d[v]变小。所以算法的执行会使d越来越小。由于我们假定图中不存在负权回路，所以每个结点都有最短路径值。因此，算法不会无限执行下去，随着d值的逐渐变小，直到到达最短路径值时，算法结束，这时的最短路径估计值就是对应结点的最短路径值。
SPFA判环：
当一个结点入队次数到达V的时候，表明其中有环。如同Bellman Ford算法，只需要V - 1次就可以完成所有的松弛，如果做了 V 次松弛，那么说明有环。
具体实现中可以用一个数组保存每个结点的入队次数。
procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s) 1 for each vertex v ≠ s in V(G) 2 d(v) := ∞ 3 d(s) := 0 4 offer s into Q 5 while Q is not empty 6 u := poll Q 7 for each edge (u, v) in E(G) 8 if d(u) + w(u, v) < d(v) then 9 d(v) := d(u) + w(u, v) 10 if v is not in Q then 11 offer v into Q
。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。