动态规划-最长上升子序列 LIS

2018-03-18 21:36:38

在计算机科学中，最长递增子序列（longest increasing subsequence）问题是指，在一个给定的数值序列中，找到一个子序列，使得这个子序列元素的数值依次递增，并且这个子序列的长度尽可能地大。最长递增子序列中的元素在原序列中不一定是连续的。许多与数学、算法、随机矩阵理论、表示论相关的研究都会涉及最长递增子序列。解决最长递增子序列问题的算法最低要求O(n log n)的时间复杂度，这里n表示输入序列的规模。

一、朴素解法

首先先介绍一个非常朴素的解法，L[i]是以nums[i]结尾的最长上升子序列长度，很容易写出如下的递推式：

L(i) = 1 + max( L(j) ) where 0 < j < i and arr[j] < arr[i]; or
L(i) = 1, if no such j exists.

显然时间复杂度为O(n ^ 2)。

    public int LIS_Naive(int[] nums) {
        int[] d = new int[nums.length];
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            int max = 0;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i] && d[j] > max) max = d[j];
            }
            d[i] = max + 1;
        }
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (d[i] > res) res = d[i];
        }
        return res;
    }

二、优化解法

LIS问题最优的解法并不是在O(n^2)的时间复杂度完成求解，在最优的算法里可以在O(nlogn)的时间复杂度完成求解。

d[k]：长度为k + 1的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k + 1的上升子序列，则记录最小的那个最末元素。

这里可以使用lowerBound函数来加速寻找。

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] dp = new int[nums.length];
        Arrays.fill(dp, Integer.MAX_VALUE);
        for (int i : nums) {
            int idx = lowerBound(dp, i);
            dp[idx] = i;
        }
        return lowerBound(dp, Integer.MAX_VALUE);
    }

    private int lowerBound(int[] nums, int k) {
        int lb = -1;
        int ub = nums.length;
        while (ub - lb > 1) {
            int mid = lb + (ub - lb) / 2;
            if (nums[mid] >= k) ub = mid;
            else lb = mid;
        }
        return ub;
    }

三、Follow Up

• Number of Longest Increasing Subsequence

问题描述：

问题求解：

    public int findNumberOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        int[] dp = new int[n];
        int[] res = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    if (dp[j] + 1 > dp[i]) {
                        dp[i] = dp[j] + 1;
                        res[i] = res[j];
                    }
                    else if (dp[j] + 1 == dp[i]) res[i] += res[j];
                }
            }
            if (res[i] == 0) res[i] = 1;
        }
        int len = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) len = Math.max(len, dp[i]);
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (dp[i] == len) ans += res[i];
        }
        return ans;
    }