简单线性回归（梯度下降法）

1、概述

梯度下降法和最小二乘法

相同点：

本质和目标相同：两种方法都是经典的学习算法，在戈丁已知数据的前提下利用求导算出一个模型（函数），使得损失函数最小，然后对给定的新数据进行估算预测

不同点：

损失函数：梯度下降可以选取其他损失函数，而最小二乘一定是平方损失函数

实现方法：最小二乘法是直接求导找出全局最小；而梯度下降是一种迭代法

效果：最小二乘法找到的一定是全局最小，但计算繁琐，且复杂情况下未必有解；梯度下降迭代计算简单，但找到的一般是局部最小，只有在目标函数是凸函数时才是全局最小；到最小点附近时收敛速度会变慢，且对初始点的选择极为敏感

2、代码实现

0.引入依赖

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

1.导入数据（data.csv）

points = np.genfromtxt('data.csv',delimiter=',')

# 提取points中的两列数据，分别作为x,y
x=points[:,0] #取所有的第一列
y=points[:,1] #取所有的第二列

# 用plt画出散点图

plt.scatter(x,y)
plt.show()

2. 定义损失函数

# 损失函数是系数的函数，还要传入数据的x，y
def computer_cost(w,b,points):
    total_cost = 0
    M = len(points)
    
    # 逐点计算平方损失误差，然后求平均值
    for i in range(M):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        total_cost += (y - w * x - b) ** 2
        
    return total_cost/M

3. 定义模型的超参数

alpha = 0.0001
initial_w = 0
initial_b = 0
num_iter = 10

4.定义核心梯度下降算法函数

def grad_desc(points,initial_w,initial_b,alpha,num_iter):
    w = initial_w
    b = initial_b
    # 定义一个list保存所有的损失函数值，用来显示下降的过程
    cost_list = []
    for i in range(num_iter):
        cost_list.append(computer_cost(w,b,points))
        w,b = step_grad_desc(w,b,alpha,points)
    return [w,b,cost_list]

def step_grad_desc(current_w,current_b,alpha,points):
    sum_grad_w = 0
    sum_grad_b = 0
    M = len(points)
    # 对每个点，带入公式求和
    for i in range(M):
        x=points[i,0]
        y=points[i,1]
        sum_grad_w += (current_w * x + current_b - y) *x
        sum_grad_b += current_w * x + current_b - y
        
    # 用公式求当前梯度
    grad_w = 2/M * sum_grad_w
    grad_b = 2/M * sum_grad_b
    
    # 梯度下降，更新当前的w和b
    updated_w = current_w - alpha * grad_w
    updated_b = current_b - alpha * grad_b
    
    return updated_w,updated_b

5. 测试，运行梯度下降算法 计算最优的w和b

w,b,cost_list = grad_desc(points,initial_w,initial_b,alpha,num_iter)
print("w = " ,w)
print("b = " , b)

plt.plot(cost_list)
plt.show()

6. 画出拟合曲线

plt.scatter(x,y)
# 针对每一个x，计算出预测的y值
pred_y = w * x + b

plt.plot(x,pred_y,c='r')
plt.show()

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