LeetCode70—爬楼梯

题目描述：

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

注意：给定 n 是一个正整数。

示例 1：

输入： 2
输出： 2
解释： 有两种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶
2.  2 阶

示例 2：

输入： 3
输出： 3
解释： 有三种方法可以爬到楼顶。
1.  1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2.  1 阶 + 2 阶
3.  2 阶 + 1 阶

解题方法1—动态规划

解题思路：

第 i 阶可以由以下两种方法得到：

在第 (i−1) 阶后向上爬一阶

在第 (i−2) 阶后向上爬 2 阶

所以到达第 i 阶的方法总数就是到第 (i−1) 阶和第 (i−2) 阶的方法数之和。

令 dp[i]表示能到达第 i 阶的方法总数：

则 dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]

代码实现：

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n），循环了n次。

• 空间复杂度：O(n)，dp 数组用了 n 的空间。

解题方法2—斐波那契数

解题思路：

在上述方法中，我们使用 dp数组，其中 dp[i]=dp[i−1]+dp[i−2]。可以很容易通过分析得出 dp[i] 其实就是第 i 个斐波那契数。

即 Fib(n)=Fib(n−1)+Fib(n−2)，并且Fib(1)=1，Fib(2)=2。

代码实现：

public class Solution {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n == 1) {
            return 1;
        }
        int Fib1= 1;
        int Fib2= 2;
        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            int Fib3= Fib1+ Fib2;
            Fib1= Fib2;
            Fib2= Fib3;
        }
        return Fib2;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，循环了n次。

• 空间复杂度：O(1)，使用常量级空间。