在2015年我们宣布机密交易(CT)作为侧链Elements Alpha的主要特征。该特征用Pedersen commitments取代了交易金额，这种一种隐藏金额的加密工具，同时保留了任何人验证在特定交易内余额的能力。
CT面临的主要难题是让它交易变得非常大而且验证缓慢，因为它要求每个交易输出包含一个rangeproof，这是一种零知识证明，证明金额太小而不会溢出。普通数字签名小于100个字节，并且只需不到100微秒的时间就可以验证，而 rangeproofs的大小是几千个字节，并需要几个毫秒才能验证。实际上，rangeproofs是使用它们的任何交易中绝大部分的交易数据。
尽管我们的rangeproofs，基于Borromean环形签名，在文献中是最快的和最小的，但对于我们需要的范围大小(range sizes)和无信任的环境下，它们仍然非常的大。
自从2015年来，我们一直都在努力提高rangeproofs的效率。在2017年初，Adam Back发现rangeproofs减小了24%，不过验证速度并没有提高。在这段期间，我们曾向我们的朋友和同事，密码学家Dan Boneh和在斯坦福大学的BenediktBünz提到这个问题，他们对改善的空间都相当的有信心。
他们最终震惊了我们。
更小，更快，更强健
根据Bootle等人在2016年基于离散对数的零知识证明的空间效率方面的改进，Bulletproofs是一种更加空间高效的零知识证明的形式。重要的是，为了我们的目的，这些证明还具有对提交值如Pedersen commitments和公钥的原生支持。这让我们可以在通用的零知识框架下实现诸如rangeproofs之类的功能，而不用在零知识中实现复杂的椭圆曲线算法。
更强健。为了限制交易大小，我们老版本的rangeproofs限制输出范围大小为2^32。这限制了输出大约到43 BTC，不过这可以通过将证明的粒度从1聪减少到10聪或者100聪来增加，或者通过从零开始增加最小值来增加。这些调整是可能的，但是使用了显示的金额，限制了系统提供的隐私。
这些32位的rangeproofs大小大约为2.5 KiB。使用Adam的优化，它们将有2 KiB 的大小。使用Bulletproofs，它们应该是610字节。有了这么小的大小，我们可以将范围(range)加倍到64位，从而无需进行任何的非隐私调整。这样的话，就会将610字节增加到1220字节，是吗？不是，实际上，64位的Bulletproof rangeproofs 仅仅只有674字节。
更小。我们将范围(range)的大小增加了一倍，但证明的大小只增加了64个字节的原因是：它们以对数级增长。这是通过使用Bootle等人在2016年论文中的内部产品参数的变体来完成的。（Jonathan Bootle也帮助了Benedikt和Dan开发Bulletproofs。 ）具体来说，论文中描述的对数大小的内部产品参数在Bulletproofs中进一步降低了，从6log(N)曲线点降到2log(N)。
相同的技巧可以将一个交易内多个rangeproofs整合到一个中，同样只会增加很少的字节数。2个rangeproofs的整合是738字节，4个则是802字节，8个是866字节。8个64位经典rangeproofs将会超过40000字节。
更快。这种节省空间很大，但是我们对该技术的初步分析显示验证速度会比老版的rangeproofs慢。似乎验证一个64位的证明需要超过200个标量点乘法，每个都是繁重的50微秒事务，而老版的rangeproofs只需要128个标量点乘法。
但是经过进一步的分析后，我们可以组合很多乘法，将总数减少到147个。更重要的是，我们意识到，与老版的rangeproofs不同，这些乘法都是不依赖对方的，所以我们可以在一个批量中完成它们。作为我们汇总签名工作的一部分，我们知道如何快速批量相乘。 我和Pieter Wuille，Greg Maxwell，Jonas Nick，Peter Dettman在这个问题上花费了几个月的时间，最终将147个乘法的速度降低到每个只需15.5微秒，让Bulletproof的总验证时间降到2.3 ms，而老版的证明需要5.8 ms。
在速度上已经不仅增加了一倍，而且由于我们的批量乘法随着你提供的点越多速度越快，所以整合的性能数字就更加令人印象深刻。8个64位Bulletproofs的整合可以在11.5 ms内验证完，而对于老版的证明需要46.8 ms，速度超过了4倍。
不过它能变得更好。Bulletproofs支持非常高效的批量验证形式。在我们需要完成的147次乘法中，其中130次在每个Bulletproof中使用相同的点，这意味着在批量验证期间，这130次乘法是可以组合的，剩下只有17次是新的乘法。实际上，这种小成本仅仅以对数级增加：对于2个范围(ranges)的整合，每个额外的证明需要19个额外的点，而4个范围(ranges)的整合，每个证明需要21个点。
注意我们引入了两个相似但是独立的概念：整合(aggregation)是指证明程序将多个rangeproofs组合成1个；而批量处理(batching)是指验证程序同时检测多个单独的证明。
这意味着两个64位的rangeproofs可以在2.7 ms内完成验证，或者每个范围(range)1.4 ms。500个rangeproofs可以在130 ms内完成验证，或者每个范围(range)0.26 ms，这比老版的证明提高了23倍。不过由于整合，它还可以变的更加可观。500个8个一整合的rangeproofs（一共是4000个范围(ranges)）可以在305 ms内验证完，或者每个范围 76 微秒，比老版的rangeproofs提高了75倍。
随着日益高效的标量点乘法不再是主导效应，这种影响最终会围绕64个证明的整合最大化。在这一点上，我们可以以每个范围(range)46微秒来批量验证，速度提高了125倍。作为参考，椭圆曲线数字签名算法（ECDSA）签名大约需要55微秒，所以在这种级别的整合下，rangeproofs甚至不是交易验证的主要部分。当然，我们不太可能在区块链上看见64个输出交易，不过这种速度在非区块链环境中（如 Provisions
）是可能的。
这种验证同样也是节约内存的，验证单个rangeproof需要 100 KiB，随着大小而增加减。
你可以证明任何事情（如果它是真的话）
Bulletproofs比rangeproofs更加的通用。它们可以被用来在零知识中证明任意的陈述。它们与SNARKs或STARKs相当，不过它们原生支持椭圆曲线(EC)公钥和Pedersen commitments（因此通常不需要在程序中实现EC算法）。此外，与SNARK不同的是，Bulletproofs在无信任环境的标准猜想下拥有完整的128位安全性。与STARK不同，它们在典型的计算机硬件上足以快速证明和验证合理大小的问题。
作为一个具体的例子，考虑SHA2压缩功能的一次运行。我们的证明程序需要少于 30 MiB的内存和大约21秒来证明SHA2原像的知识。验证需要大约23 MiB的内存和75 ms，但是我们可以用大约每个证明5 ms和13.4 KiB批量验证额外的证明。
我们的证明程序比SNARK更节省内存：在相同的系统中，SHA2的一个SNARK证明只需要4秒但是要75 MiB内存。验证时，每个电路需要大量的一次性预计算（需要被证明的陈述），然后只需要3-5 ms和很少的内存就可以验证。这些数字不会随着电路的增加而增加，所以对于超过几千门的电路，即使与我们的批量验证相比，SNARK也明显是赢家。不幸的是，这是以可信赖的环境和新的加密猜想为代价的。
在证明程序和验证程序上，Bulletproofs仍有很大的优化空间。
验证任意陈述句的能力——不管是Bulletproofs，SNARKs或者STARKs，都有很多的应用。它可以用于实现普通的数字签名，包括（可追踪的）环形签名和阈值签名，对于大型环来说，在验证时间和证明大小方面它都比传统方案要高效。它的使用不限于此，它还可以用来可靠的销售数独问题，可以用于多方计算，即使有秘密数据的情况下还是可以证明每方都是诚实行事。（特别是在MuSig这样的多重签名方案中，这允许使用确定性的随机数生成，而不需要签名者维护状态或容易受到随机重用攻击。）它还可以用来证明哈希原像(preimages)。
后一种应用，哈希原像，是特别有趣的，因为它可以用来创建零知识Merkle证明，包含在大规模集合（有数百万甚至数十亿元素）的高效证明。我们将在未来的文章中探讨这一点。
总结
- Bulletproofs是通用零知识证明（类似SNARKs）
- 它们可以用来扩展多方协议，如多重签名或零知识应急支付
- Bulletproofs提供了一个更加高效的CT rangeproofs版本（批量验证时，速度提高超过23倍）
- 这些rangeproofs可以在交易中进行整合，然而大小只以对数级增长
- 通过充分的整合，例如Provisions，批量验证的速度比老版的证明快了超过130倍
我们很感谢Bootle等人开发的内部产品参数，它引导了我们。同样也感谢Benedikt Bünz和Dan Boneh，我们的合著者，他们做了大量的创造性工作。感谢Sean Bowe和Daira Hopwood为优化算术电路而做的研究。