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多重加密里，用M个秘钥加密的信息只需要N个秘钥就可以解密（M>N)，这里面的原理是什么？
Threshold ElGamal Cryptosystem 门限EIGamal 加密详解

以下第三部分Shamir's (k,n)-threshold scheme是核心

1.EIGamal 加密
详解ElGamal加密算法 | 夏冰加密软件技术博客
2.拉格朗日插值公式
详细解释和证明链接：

http://www.cnblogs.com/ECJTUACM-873284962/p/6833391.htmlwww.cnblogs.com

对于k+1个点 $(x_{0}，y_{0})...(x_{k},y_{k})$ ,通过所有点的次数不超过k的多项式可表示为：
$L(x):=sum_{j=0}^{k}{y_{j}l_{j}(x)}$
其中： $l_{j}(x):=prod_{i=0,i e j}^{k}frac{x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}$

3. Shamir's (k,n)-threshold scheme
1)假设s是需要k个节点共同解密的信息， $sin Z_{p}$ p为素数。
2）随机选择一个多项式 $f(x)=f_{0}+f_{1}x+f_{2}x^{2}+...+f_{k-1}x^{k-1}$
此多项式满足 $f(0)=s$
即：
- 随机选择 $f_{1},...,f_{k-1}in Z_{p}$
- 设 $f_{0}leftarrow s$
3)对于 $i in [1,n]$ , 第i个参与节点的密钥为 $s_{i}=(i,f(i))$ 这个密钥相当于拉格朗日差值公式中的取值点 $(x_{i},y_{i})$
4)消息s可以被任意的k个节点共同解密，解密方法如下：
$f(x)=sum_{i=1}^{k}{f(i)}prod_{j=1,j e i}^{k}frac{x-j}{i -j} (mod p)$
$s=f(0)=sum_{i=1}^{k}{f(i)}prod_{j=1,j e i}^{k}frac{j}{j-i} (mod p)$

4.Threshold EIGamal Cryptosystem
1）参数设置:
$G$ 为 $Z_{p}^{*}$ 的循环子群，阶数为 $q$ 。 $p$ ， $q$ 均为大素数，并且 $p=2q+1$ , $g$ 为 $G$ 生成元，共有 $omega$ 个节点 $P_{1},P_{2},...,P_{omega}$ 来合作管理门限 ELGamal 密文。
2）如通常EIGamal加密一样，每个节点 $P_{i}$ 都有一个私钥 $x_{i} in Z_{q}$ , 公布 $P_{i}$ 公钥 $y_{i}=g^{x_{i}} mod p$ , EIGamal门限加密系统的加密公钥为 $y=prod_{i=1}^{omega}y_{i} mod p$ ，私钥 $s=x_{1}+x_{2}...+x_omega$
3)使用公钥y加密消息m，得到的EIGamal 密文对为 $（g^r,my^{r}）$ ,想要解密就需要知道私钥s,也就是需要知道每一个节点的私钥 $x_{i}$ 然后求和，但这就需要所有节点全部参与，为了达到“ $omega$ 个节点中 $t$ 个节点在一起就可以实现解密”，每个节点 $P_{i}$ 都需要通过 Shamir's threshold scheme 向其他向其它节点分享自己的私钥 $x_{i}$ , 当 $omega$ 个节点中t个节点“凑”在一起时，就能解密得到每一个 $x_{i}$ 的值，从而恢复出私钥 $s$
- $P_{i}$ 首先构造一个多项式（步骤如同 Shamir's threshold scheme） $F_i(x)=sum_{k=0}^{t-1}{f_{i,k}x^{k}} mod q$
其中 $f_{i,0}=x_{i}$
- 节点 $P_{i}$ 向其它节点 $j$ , $j=1,2,...,i-1,i+1,i+2,...omega$ 发放他们的密钥 $d_{i,j}=(j,F_{i}(j))$ 此消息使用 $P_{j}$ 的公钥加密。
- 当 $omega$ 个节点中t个节点“凑”在一起时，就可以解密 $x_{i}$
$x_{i}=F_{i}(0)=sum_{j=1}^{t}{F_{i}(j)}prod_{k=1,k e j}^{t}frac{k}{k-j} (mod p)$
因此
$s=sum_{i=1}^{w}{x_i}=sum_{i=1}^{w}F_{i}(0)=sum_{i=1}^{w}sum_{j=1}^{t}{F_{i}(j)}prod_{k=1,k e i}^{t}frac{k}{k-j} (mod p)$
把公式稍微变换一下
$s=sum_{i=1}^{w}{x_i}=sum_{i=1}^{w}F_{i}(0)=sum_{j=1}^{t}sum_{i=1}^{w}{F_{i}(j)}prod_{k=1,j e i}^{t}frac{k}{k-j} (mod p)$

令 $d_{j}=sum_{i=1}^{w}{F_{i}(j)} (mod q)$ $u_{j}=prod_{k=1,j e i}^{t}frac{k}{k-j}$
可得 $s=sum_{j=1}^{t}d_{j}cdot u_{j} ( mod q)$

$d_{j}$ 可理解为节点 $P_{j}$ 收到的“私钥分享总和”， $P_{j}$ 解密部分为 $s_{j}=g^{rd_{j}} mod p$
$m=frac{my^r}{g^{rs}}=frac{my^r}{g^{rsum_{j=1}^{t}d_{j}cdot u_{j}}}=frac{my^r}{prod_{j=1}^{t}g^{rd_{j}cdot u_{j}}}=frac{my^r}{prod_{j=1}^{t}s_{j}^{u_{j}}} (mod p)$
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原文地址：https://www.cnblogs.com/hzcya1995/p/13312742.html

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