BZOJ1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

1706: [usaco2007 Nov]relays 奶牛接力跑

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Description

FJ的N(2 <= N <= 1,000,000)头奶牛选择了接力跑作为她们的日常锻炼项目。至于进行接力跑的地点自然是在牧场中现有的T(2 <= T <= 100)条跑道上。农场上的跑道有一些交汇点，每条跑道都连结了两个不同的交汇点 I1_i和I2_i(1 <= I1_i <= 1,000; 1 <= I2_i <= 1,000)。每个交汇点都是至少两条跑道的端点。奶牛们知道每条跑道的长度length_i(1 <= length_i <= 1,000)，以及每条跑道连结的交汇点的编号并且，没有哪两个交汇点由两条不同的跑道直接相连。你可以认为这些交汇点和跑道构成了一张图。为了完成一场接力跑，所有N头奶牛在跑步开始之前都要站在某个交汇点上（有些交汇点上可能站着不只1头奶牛）。当然，她们的站位要保证她们能够将接力棒顺次传递，并且最后持棒的奶牛要停在预设的终点。你的任务是，写一个程序，计算在接力跑的起点(S)和终点(E)确定的情况下，奶牛们跑步路径可能的最小总长度。显然，这条路径必须恰好经过N条跑道。

Input

* 第1行: 4个用空格隔开的整数：N，T，S，以及E

* 第2..T+1行: 第i+1为3个以空格隔开的整数：length_i，I1_i，以及I2_i，描述了第i条跑道。

Output

* 第1行: 输出1个正整数，表示起点为S、终点为E，并且恰好经过N条跑道的路径的最小长度

Sample Input

2 6 6 4
11 4 6
4 4 8
8 4 9
6 6 8
2 6 9
3 8 9

Sample Output

可恶的权限题，数据下载在此。

题意：

　　给定一张M 条边的无向带权图,求从起点S到终点E恰好经过K条边的最短路径。2 ≤ M ≤ 100, 2 ≤ K ≤ 1000000。保证每个连边的点度至少为2。

做法：

　　由于题目要求的是经过K条边的最短路径的长度（而不是路径数量），传统的矩阵乘法无法使用。究其本原，矩阵乘法是基于以下递推式：

[ F_{i,j} = F_{i,k} imes F_{k,j} ]

　　而题述则为：

[ G_{i,j} = min (G_{i,k} + G_{k,j})]

　　思考一下！矩阵乘法还能这样用！

　　太棒了。

 1 #include <cstring>
 2 #include <cstdio>
 3 const int maxn = 100 + 3;
 4 const long long INF = 0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
 5 inline long long min(long long a, long long b) {
 6     return a < b ? a : b;
 7 }
 8 namespace my_matrix {
 9     typedef long long MType;
10     typedef int IType;
11     const MType size = maxn;
12     struct Matrix {
13         MType d[size][size];
14         int row, col;
15         inline Matrix() {
16             memset(d, 0, sizeof d);
17         }
18         inline Matrix(int _row, int _col) {
19             row = _row, col = _col;
20             memset(d, 0, sizeof d);
21         }
22         inline void init() {
23             for(int i = 0; i < row; ++i) {
24                 d[i][i] = 1;
25             }
26         }
27         inline void set_size(int _set_size) {
28             row = col = _set_size;
29         }
30         inline void clear() {
31             memset(d, 0, sizeof d);
32         }
33         inline void print() {
34             for(int i = 0; i < row; ++i) {
35                 for(int j = 0; j < col - 1; ++j) {
36                     printf("%lld ", d[i][j]);
37                 }
38                 printf("%lld
", d[i][col - 1]);
39             }
40         }
41     };
42     inline Matrix operator * (const Matrix &lhs, const Matrix &rhs) {
43         Matrix ret;
44         ret.set_size(lhs.row);
45         for(int i = 0; i < ret.row; ++i)
46             for(int j = 0; j < ret.col; ++j)
47                 ret.d[i][j] = INF;
48         for(int i = 0; i < lhs.row; ++i)
49             for(int j = 0; j < rhs.col; ++j)
50                 for(int k = 0; k < lhs.col; ++k) {
51                     ret.d[i][j] = min(ret.d[i][j], lhs.d[i][k] + rhs.d[k][j]);
52                 }
53         return ret;
54     }
55     inline Matrix fast_pow(Matrix base, IType index) {
56         Matrix ret;
57         for(ret.set_size(base.row), memcpy(ret.d, base.d, sizeof base.d); index; index >>= 1, base = base * base)
58         if(index & 1) ret = ret * base;
59         return ret;
60     }
61 };
62 using namespace my_matrix;
63 
64 int hash[1000 + 20], top;
65 inline int id(int x) {
66     if(hash[x] != -1) return hash[x];
67     else return hash[x] = top++;
68 }
69 int T, S, E, N;
70 long long g[103][103];
71 
72 int main() {
73     freopen("relays.in", "r", stdin);
74     freopen("relays.out", "w", stdout);
75     memset(hash, -1, sizeof hash);
76     scanf("%d%d%d%d", &N, &T, &S, &E);
77     memset(g, INF, sizeof g);
78     for(int i = 1; i <= T; ++i) {
79         int l, f, t;
80         scanf("%d%d%d", &l, &f, &t);
81         g[id(f)][id(t)] = g[id(t)][id(f)] = l;
82     }
83     Matrix base;
84     base.set_size(top);
85     memcpy(base.d, g, sizeof g);
86     base = fast_pow(base, N - 1);
87     printf("%lld
", base.d[id(S)][id(E)]);
88 }

relays