Nim证明即推导

(Nim)游戏:
(N)堆石子，每堆(a[i])个石子，(Alice)与(Bob)轮流行动，(Alice)先行动，操作规则如下
1、两方轮流操作
2、每次可取走任意一堆的任意数量石子，不能取成负数
3、无法行动的一方为输

定义先手必胜局面，N局面，表示当前局面为先手必胜(即面对该局面的玩家一定有获胜的策略)
定义先手必败局面，P局面，表示当前局面为先手必败(即面对该局面的玩家一定没有机会获胜)
易得到
({color{Red} {1、所有终止局面一定为P局面}})
({color{Red} {2、可以到达P局面的局面为N面}})
({color{Red} {3、所有操作都将导致N局面的局面为P局面}})
所以，博弈论的胜负决策可以按一下步骤确定
1、标记所有终止状态为P状态
2、寻找所有能到达P状态的点，标记为N状态
3、寻找所有子状态都为N状态的点，标为P状态。如果没有，则退出
但是，显然按上面这种算法会狂T不止，且码量巨大，所以，我们引进一个新函数
定义(mex(x))，(x)为自变量，表示一个集合，(mex(x))定义为集合中未出现过的最小自然数
定义(sg(x))，令(y)为(x)的子状态集合，(z)为的某一元素(y)，则(sg(x)=mex(sg(z)))
又可以得到
({color{Red} {sg(所有终止局面)=0(没有子状态)}})
({color{Red} {sg(可达终止局面的状态) e0}})
({color{Red} {sg(子状态的sg值均不为0的状态)=0}})
上面三个式子都很显然
然后，我们就发现了一个类似的规则
当(sg=0)时其状态为P状态
当(sg e0)时其状态为N状态(对比红字)

如何判断多堆石子时的胜负情况？
首先，很显然，
当局面为 (egin{matrix}2n\overbrace{ k+k+cdots+k }end{matrix}) 时，先手必输
设(N)堆石子，每堆数量为(a_{i})
将每个(a_{i})转化为二进值，并将前导零补全
当(a_{i}=a_{j}=k(1leq i<jleq n))时
所有(a_{i})转化为二进值都是相同的
例如，(k=22)时
(10110)
(10110)
每次先手的操作，都可以看做在其中一个(k)中，将一些0变为1,1变为0
例如把k取成17
(10{color{Red} {001}})
(10110)
此时对手也可以采取相同操作，将下面的也取成17
(10{color{Red} {001}})
(10{color{Red} {001}})
上面一点大家都懂，只是一个引入

当存在(a_{i} e a_{j})时，如何操作？
拿3、5、6为例
(011)
(101)
(110)
观察发现，每一纵列都有偶数个1，这意味着
当一方取走任意一个1时，另一方都有相同的策略取走另一个1，使其保持纵列仍然为偶数个1
当一方将任意一个0改变为1时，另一方都有相同的策略取走一个1(注意，不是补0)，使其保持纵列仍然为偶数个1
这跟上面讲到过的策略一样，正确性显然
所以，我们得出这么一个结论，当每一列的1的个数均为偶数时，先手必败，反之先手必胜
再简化一点，当(a_{1}otimes a_{2}otimes a_{3}otimescdotsotimes a_{n}=0)时((otimes)表示异或)，先手必败，反之先手必胜
再推广，可得一个平等组合游戏中，该游戏的(sg)值等于其所有子游戏的(sg)值的异或和

胜负判断知道了，如何得到必胜策略(如果存在的话)
设(a_{1}otimes a_{2}otimes a_{3}otimescdotsotimes a_{n}=k(k e0))
因为

[a_{1}otimes a_{2}otimes a_{3}otimescdotsotimes a_{n}=k(k e0) ]

很显然

[a_{1}otimes a_{2}otimes a_{3}otimescdotsotimes a_{n}otimes k=kotimes k=0 ]

且

[kleq max(a_{1},a_{2},a_{3},cdots,a_{n}) ]

设k的二进值最高位为第x位，则在(a_{1}sim a_{n})中，至少存在一个(a_{i})，二进值第x位也为1
所以

[a_{i}otimes k<a_{i} ]

[a_{1}otimes a_{2}otimes a_{3}otimescdotsotimes a_{i}otimes kotimescdotsotimes a_{n}=0(k e0) ]

因为(a_{i}otimes k<a_{i})，所以存在(a_{i})，将其取成(a_{i}otimes k)即可