[BZOJ1925]地精部落

地精部落

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为N的山脉H可分为从左到右的N段，每段有一个独一无二的高度Hi，其中Hi是1到N之间的正整数。如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。地精们希望这N段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足这个条件的整座山脉才可能有地精居住。现在你希望知道，长度为N的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A和B不同当且仅当存在一个i，使得Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行,两个正整数 N,P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余之后的结果。

样例

样例输入

4 7

样例输出

3

数据范围与提示

对于 20%的数据，满足 N≤10；
对于 40%的数据，满足 N≤18；
对于 70%的数据，满足 N≤550；
对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤10^99​​

反正信奥题把谁都能搞进来

这是我做数论这几天碰到的第一个代码这么短的题，那就靠脑子了

因为最近学组合数，我就去往组合数上想去了，谁知道这是个考数列的DP题，我数学老师也没给我讲过摆动数列啊，那就先看看样例里的说明，你看上下两行是不是长得有点像，你吧上面那一行的倒过来你发现了什么？都一样，这提示我们可以算出一半来乘二就可以了

一些性质(不一定适用于所有摆动数列，只针对这道题)

1.对于一个符合条件的数列，如果有两个数$a_i$和$a_j$，$|a_i-a_j|=1$并且$a_i$和$a_j$在数列中不相邻，那么对于一个已经成立的数列，把$a_i$和$a_j$交换位置，整个数列依旧可以成立

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再回来的我已经是考过一场数论，打了两个数论暴搜的人了

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证明:对于满足要求的$a_i$和$a_j$设其两边的两个数分别为A，B，C，D(A,D可能为零),且$a_i$为山峰，$a_j$为山谷(其他的情况类比证明就行了),保证数列中均为整数

则有$A$，$B{leq}a_i-2$，$C$，$D{ge}a_j+2$

若$a_i>a_j$，则有$a_i=a_j+1$，$a_j=a_i-1$，可知$A$，$B{leq}a_j-1$，$C$，$D{ge}a_i+1$，数列仍成立，证毕($a_i<a_j$也这么证)

2.如果数列$a_1$，$a_2$，${cdots}$，$a_n$为一个符合条件的数列，那么$n-a_1+1$，$n-a_2+1$，${cdots}$，$n-a_n+1$仍符合条件，且峰谷相反

这个我觉得没什么证明的，就是大小关系直接取反了

有了这两个性质我们回到这道题上，设$f[i][j]$表示在前i个数中以$j$为最后一个数，且$j$为山峰时的符合条件的方案数，我们考虑两种情况

$j$和$j-1$不相邻

那性质一就派上用场了，既然不相邻，$j$为最后一个且为峰和$j-1$为最后一个且为峰是一样的，那么$f[i][j]=f[i][j-1]$

$j$和$j-1$相邻

这个时候就用到性质二了，$j$为山峰，那$j-1$就是山谷，$f[i][j]$就等于在前$i-1$个数中$j-1$为山谷的方案数，我们不知道山谷怎么办？全部翻转，谷变峰，峰变谷，那最后就是前$i-1$个数，以$(i-1)-(j-1)+1$为最后一个数且为峰，则$f[i][j]=f[i][i-j+1]$

综上所述$f[i][j]=f[i][j-1]+f[i][i-j+1]$

这道题就搞定了，注意1不能当结尾就可以了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define maxn 4300
using namespace std;
int n,p;
ll f[maxn][maxn];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&p);
    f[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        for(int j=2;j<=i;++j)
        {
            f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1];
            f[i][j]=f[i][j]%p;
        }
    }
    ll ans=0;
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        ans+=f[n][i];
        ans=ans%p;
    }
    ans=(ans*2)%p;
    printf("%lld
",ans);
    return 0;
}