Codeforces Round #665 (Div. 2) D. Maximum Distributed Tree
题意
给定一棵(n) 个结点的树,对这棵树分配边权,使得这棵树的边权的乘积为(k) ,且要求所有两点的简单路径边权之和最大。
(k) 以质因子的形式给出,有(m) 个质因子
结果取余1e9+7
[n leq 10^5 ,m leq 6cdot 10^4 ,p_i leq 6cdot 10^4
]
分析
显然我们需要考虑每条边的贡献,如何求得一条边的贡献次数?简单排列组合一下就知道,令(siz(i)) 为(i) 号结点的子树大小,那么(i) 和父亲结点的连边的贡献次数就是$ size(i) cdot (n - siz(i))$ ,这样我们只要贪心地把最大的质因子分配给贡献最大的连边即可,至于为什么是质因子,可以通过不等式证明。
这里还需要简单讨论一下 $ m leq n - 1$ 的情况。
代码
ll siz[maxn], p[maxn], q[maxn];
vector<int> e[maxn];
void dfs(int u, int fa) {
siz[u] = 1;
for (auto it : e[u]) {
if (it == fa) continue;
dfs(it, u);
siz[u] += siz[it];
}
}
int main() {
int T = readint();
while (T--) {
int n = readint();
for (int i = 1; i <= n; i++) e[i].clear(), siz[i] = 0, p[i] = 1;
for (int i = 1; i < n; i++) {
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
e[x].push_back(y);
e[y].push_back(x);
}
dfs(1, 0);
int m = readint();
for (int i = 1; i <= m; i++) p[i] = readll();
if (m < n - 1) m = n - 1;
sort(p + 1, p + m + 1);
for (int i = n; i <= m; i++) {
p[n - 1] *= p[i];
p[n - 1] %= MOD;
}
ll res = 0;
for (int i = 1; i < n; i++)
q[i] = (n - siz[i + 1]) * siz[i + 1];
sort(q + 1, q + n);
for (int i = 1; i < n; i++)
res = (res + (p[i] % MOD * q[i] % MOD) % MOD) % MOD;
Put(res);
puts("");
}
}