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HDU - 5698 瞬间移动 组合数学 思维

题意

给一个无限大的方形网络，从((1,1)) 开始跳跃，一次可以跳到右下方的任意一格，问跳到((n,m)) 的方案数。

分析

此题如果没有特殊条件跳到任意一格，就是很经典的组合问题：考虑从((1,1)) 走到((n,m)) 会经历(n+m-2) 次移动，其中(C_{n+m-2}^{n-1}) 次往下，就是方案数了。

但是此题不太一样可以跳跃，因此往下的次数不再是(n-1) 但还是尝试类似的方法：枚举到((n,m))在行上走了(x) 步，在列上也走了(x) 步，那么两者的方案数乘积就是答案了，贡献为(C_{n - 2}^x cdot C_{m-2}^x)

因此答案

[ans = sum C_{n-2}^xcdot C_{m-2}^x = sum C_{n-2}^xcdot C_{m-2}^{m-2-x}= C_{n+m-4}^{m-2} ]

最后一步又叫做范德蒙德卷积

[sum C_{n}^kcdot C_{m}^{k-i}= C_{n + m}^{k} ]

代码

ll fac[maxn], inv[maxn];

void init()
{
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < maxn; i++)
    {
        fac[i] = fac[i - 1] * i % MOD;
    }
}
ll Cc(ll x, ll y)
{
    return fac[x] * ksm(fac[y] * fac[x - y] % MOD, MOD - 2,MOD) % MOD;
}


int main() {
    ll m, n;
    init(); 
    while (~scanf("%lld%lld", &n, &m)) {
        if (m > n) swap(n, m);
        Put(Cc(m + n - 4, n - 2));
        puts("");
    }
}