HDU-6447 YJJ's Salesman DP 树状数组优化
题意
在一个网格中,当前要求从((0,0))走到((10^9,10^9)) 。
只能从((x,y)) 走到((x+1,y) or (x,y+1) or (x+1,y+1))
现存在(N) 个点,到达这些点会增加(w)财富,问最终财富的最大值
[1leq N leq 10^5 , w leq 10^3
]
分析
容易注意到的性质是,若当前在((x,y)) ,那么这个点只能从((i,j)) ,其中(i < x && j < y)
这表示每行最多选择一个点。
令(dp[i]) 表示到第(i) 行的最大财富值。
[dp[i] = max(dp[k]) + w_i , k 表示1-(i-1)行可以转移的状态
]
这里的最大值必须是通过合法状态转移的,不是简单的维护最大值就行,所以这里用树状数组进行区间查询和单点更新是比较方便的。
这样就只需要递推(N) 次即可了。至于(x,y) 过大,只需要对(x) 这一维进行离散化即可。
注意这里的排序,必须对(x) 从大到小排序,否则树状数组中进行查询的时候就破坏了之前对角线的性质了。
代码
struct node {
int x, y, val;
friend bool operator < (const node& a, const node& b) {
if (a.y == b.y) return a.x > b.x;
else return a.y < b.y;
}
};
node a[100005];
int c[100005], x[100005];
int n;
int ask(int x) {
int ans = 0;
for (; x; x -= x & -x) ans = max(ans, c[x]);
return ans;
}
void update(int x,int val) {
for (; x <= n; x += x & -x) c[x] = max(c[x], val);
}
int main() {
int T = readint();
while (T--) {
n = readint();
for (int i = 0; i <= n; i++) c[i] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
a[i].x = readint(), a[i].y = readint(), a[i].val = readint();
x[i] = a[i].x;
}
sort(x + 1, x + n + 1);
sort(a + 1, a + n + 1);
int Max = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int cnt = lower_bound(x + 1, x + n + 1, a[i].x) - x ;
int w = a[i].val + ask(cnt - 1);
Max = max(Max, w);
update(cnt, w);
}
printf("%d
", Max);
}
}