Codeforces Round #720 (Div. 2) D.Nastia Plays with a tree 树上最小链覆盖记录路径

Codeforces Round #720 (Div. 2) D.Nastia Plays with a tree 树上最小链覆盖记录路径

题意

给出一颗树，定义bamboos为每个点度数不超过2的树，每次操作可以在树上删除一条边，添加一条边，问最少操作次数把原来的树变为一个bamboo

[2 leq n leq 10^5 ]

分析

把加边删边分开来看，我们知道每删一条边就会多一个连通块，最终删了(x)次会形成(x + 1)个连通块，加了(x)条边相当于减少(x)个连通块

于是原问题可以看成先删(x)条边，让它形成(x + 1)个bamboo，再逐一连接，（否则无论如何都没办法形成最终的bamboo）

观察一下最终的bamboo，可以看成若干条互不相交的链，我们发现这就是经典的最小链覆盖问题，于是套用树上最小链覆盖的算法（贪心orDP，此处不展开赘述）即可得到(x)

当然，此题还要求输出方案，那么只需要在dfs的时候多加几个数组来表示拐点和删边，这些就相对来说简单了

主要是题做得少，不知道有这个算法

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
#define re register
using namespace std;
typedef long long ll;

int rd(){
	int x = 0;
	char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {
		ch = getchar();
	}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {
		x = x * 10 + ch - '0';
		ch = getchar();
	}
	return x;
}

vector<pair<pii,pii>> choose;
const int maxn = 1e5 + 5;
vector<pii> e[maxn];
int siz[maxn],vis[maxn];
int del[maxn];
int ans;

void dfs(int u,int fa){
	int cnt = 0;
	siz[u] = 1;
	for(auto v:e[u]) {
		if(v.fi == fa) continue;
		dfs(v.fi,u);
		siz[u] += siz[v.fi];
		if(!vis[v.fi]) cnt++;
		else {
			ans++;
			del[v.se] = 1;
		}
	}
	if(cnt >= 2) {
		siz[u] -= 2;
		vis[u] = 1;
		for(auto v:e[u]) {
			if(v.fi == fa) continue;
			if(cnt <= 2) break;
			if(!vis[v.fi]) {
				cnt--;
				ans++;
				del[v.se] = 1;
			}
		}
	}
	else if(cnt == 1) siz[u]--; 
}

vector<pii> bamboos;
vector<int> leaves;
int used[maxn];

void dfs2(int u,int rt){
	used[u] = 1;
	int cnt = 0;
	for(auto v:e[u]) {
		if(used[v.fi] || del[v.se]) continue;
		cnt++;
		dfs2(v.fi,rt);
	}
	if(u == rt && cnt == 1) 
	   leaves.push_back(u);
	else if(!cnt) 
		leaves.push_back(u);	
}


int main(){
	int T = rd();
	while(T--){
		ans = 0;
		int n = rd();
		for(int i = 0;i <= n;i++) e[i].clear(),used[i] = vis[i] = siz[i] = del[i] = 0;
		leaves.clear();
		bamboos.clear();
		choose.clear();
		for(int i = 1;i < n;i++){
			int x = rd();
			int y = rd();
			e[x].push_back(make_pair(y,i));
			e[y].push_back(make_pair(x,i));
		}
		dfs(1,1);
		for(int i = 1;i <= n;i++){
			if(!used[i]) {
				dfs2(i,i);
				if(leaves.size() == 2) {
					bamboos.push_back(make_pair(leaves[0],leaves[1]));
				}
				else bamboos.push_back(make_pair(leaves[0],leaves[0]));
				leaves.clear();
			}
		}
		vector<pii> Del,Add;
		for(int i = 1;i <= n;i++){
			for(auto v:e[i]) {
				if(del[v.se]) {
					if(i < v.fi)
						Del.push_back(make_pair(i,v.fi));
				}
			}	
		}
		for(int i = 1;i < bamboos.size();i++){
			Add.push_back(make_pair(bamboos[i - 1].se,bamboos[i].fi));
		}
		for(int i = 0;i < ans;i++)
			choose.push_back(make_pair(Del[i],Add[i]));
		cout << ans << '
';
		for(auto it:choose){
			cout << it.fi.fi << ' ' << it.fi.se << ' ' << it.se.fi << ' ' << it.se.se << '
'; 
		}
	}
}