Pólya 定理 模板
Burnside 定理
定义(G)为一个置换群，定义其作用于(X),如果(x,y in X) 在(G)作用下相等即存在(f in G) 使得(f(x) = y) 则定义(x,y)属于一个等价类，则不同的等价类的数量为(|X/G| = frac{1}{|G|} sum_{gin G} X^g)
其中(X^g)表示(X)在(g)作用下的不动点的数量 即满足(g(x) = x)这样的(x)的数量
Pólya 定理
[|X/G| = frac{1}{|G|} sum_{gin G}|B|^{c(g)}
]
其中(B)表示颜色的集合，(c(g))表示置换(g)能拆分成的不相交的循环置换的数量
题意
给定(n)个点 (n)条边的环 有(n)种颜色 给每个顶点染色 问有多少种本质不同的染色方案
分析
题目中仅有的作用就是旋转，根据Pólya 定理 考虑旋转0个，1个...n-1个
对于旋转(k)个而言，显然它的所有循环节相等 满足(kk' equiv 0(mod n)) 有(k' = frac{[n,k]}{k})
那么循环置换的个数(n / k' = (n,k))
于是(ans = frac{1}{n} sum_{k=0}^n n^{(n,k)})
简单的变换即可得到(ans = frac{1}{n}sum_{d|n} n^d phi(frac{n}{d}))