HDU-6960 Necklace of Beads 置换-Burnside引理
题意
给长度为(n)的项链涂上红色、蓝、绿三种颜色 并且要求绿色不超过(k)个 任意相邻的也不同色
求本质不同的方案数
分析
那么若用(g(n,k))表示对长度(n)的环染色且绿色个数为(k)的方案数(不要求本质不同)
那么当旋转(i)次后，就可以得到((n,i))个循环节，循环节长度为(frac{n}{(n,i)}) ，且要求每个循环节颜色相同。
同时要么整段都是绿色 要么都不是绿色 那么枚举绿色的个数有
[sum|X^g| =sum_{j = 0}^{frac{k(i,n)}{n}}g((n,i),j)
]
套用Burnside引理
[|X/G| = frac{1}{n}sum_{g in G}|X^g|
]
[ans= frac{1}{n}sum_{i=0}^{n -1}sum_{j=0}^{frac{k(i,n)}{n}}g((n,i),j)
]
考虑(g(n,k))的求法 就是要求任意两个绿色的间隔大于0，间隔之间只有红绿红.. 或者绿红绿... 所以需要乘上(2^k)
而绿色方法就是经典的隔板法 -> 考虑(x_1 + x_2 + ..x_k = n - m)的解即可(x_i > 0) 当然还要注意讨论环带来的影响
那么再进行简单的数论变换
即可得到
[ans = frac{1}{n} sum_{d|n}phi(lfloorfrac{n}{d}
floor)sum_{j=0}^{lfloorfrac{kd}{n}
floor}g(d,j)
]
代码
#include<bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
typedef long long ll;
ll rd(){
ll x;
scanf("%lld",&x);
return x;
}
const int MOD = 998244353;
const int maxn = 1e6 + 5;
int phi[maxn];
int fac[maxn];
int iv[maxn];
inline void add(int &x,int y){
x += y;
if(x >= MOD) x -= MOD;
}
inline int ksm(int a,int b = MOD - 2,int m = MOD){
int ans = 1;
int base = a;
while(b){
if(b & 1) ans = (ll)ans * base % MOD;
base = (ll)base * base % MOD;
b >>= 1;
}
return ans;
}
inline int C(int n,int m){
if(m > n) return 0;
return (ll)((ll)fac[n] * iv[n - m] % MOD) * iv[m] % MOD;
}
inline int get(int n,int k){
if(!k) {
if(n & 1) return 0;
return 2;
}
return (C(n - k,k) + C(n - k - 1,k - 1)) % MOD;
}
int _2[maxn];
inline int add(int k,int d,int n){
int ans = 0;
int lim = (ll)k * d / n;
for(int i = 0;i <= lim;i++){
add(ans,(ll)_2[i] * get(d,i) % MOD);
}
return ans;
}
int main(){
phi[1] = 1;
for(int i = 2;i < maxn;i++){
if(!phi[i]) {
for(int j = i;j < maxn;j += i){
if(!phi[j]) phi[j] = j;
phi[j] = (ll)phi[j] / i * (i - 1);
}
}
}
fac[0] = 1;
iv[0] = ksm(1);
_2[0] = 1;
for(int i = 1;i < maxn;i++)
fac[i] = (ll)fac[i - 1] * i % MOD,_2[i] = (ll)_2[i - 1] * 2 % MOD,iv[i] = ksm(fac[i]);
int T = rd();
while(T--){
int ans = 0;
int n = rd();
int k = rd();
for(int i = 1;i * i <= n;i++){
if(n % i) continue;
add(ans,(ll)phi[n / i] * add(k,i,n) % MOD);
if(i * i == n) break;
add(ans,(ll)phi[i] * add(k,n / i,n) % MOD);
}
ans = (ll)ans * ksm(n) % MOD;
printf("%d
",ans);
}
}