[专题总结]最大权闭合子图和上下界网络流基础

一页板子题。里面也有难的。但是建图不是特别复杂，被迫听到NC喊标签然后就AC了。

植物大战僵尸：

最大权闭合子图，挺板子的。

考虑一下每个植物都会保护它身后的植物，然后成环的保护关系一个都不能吃。

然后就是板子。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
#define S 3333333
vector<int>v[999];
int n,m,val[999],ord[33][33],pc,Fir[999],L[S],To[S],deg[999],q[S],Ec,tp[999];
int ec=1,fir[999],l[S],to[S],w[S],E,d[999],ans;
bool bfs(){
    for(int i=1;i<=E;++i)d[i]=0;
    for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(w[i]&&!d[to[i]])
        d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
    return d[E];
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==E)return flow;
    for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(d[to[i]]==d[p]+1&&w[i]){
        int x=dfs(to[i],min(w[i],r));
        if(!x)d[to[i]]=0;
        w[i]-=x;w[i^1]+=x;r-=x;
    }return flow-r;
}
void Link(int a,int b){L[++Ec]=Fir[a];Fir[a]=Ec;To[Ec]=b;deg[b]++;}
void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;w[ec]=V;}
void con(int a,int b,int V){link(a,b,V);link(b,a,0);}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)ord[i][j]=++pc;E=++pc;
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j){
        int N,x,y;scanf("%d%d",&val[ord[i][j]],&N);
        for(int p=1;p<=N;++p)scanf("%d%d",&x,&y),v[ord[i][j]].push_back(ord[x+1][y+1]);
        if(j^1)v[ord[i][j]].push_back(ord[i][j-1]);
    }
    for(int i=1;i<pc;++i)for(int j=0;j<v[i].size();++j)Link(i,v[i][j]);
    int t=1;
    for(int i=1;i<pc;++i)if(!deg[i])q[++t]=i;
    for(int h=2;h<=t;tp[q[h]]=1,++h)for(int i=Fir[q[h]];i;i=L[i]){
        deg[To[i]]--;if(!deg[To[i]])q[++t]=To[i];
    }
    for(int i=1;i<pc;++i)if(tp[i]){
        if(val[i]>0)con(0,i,val[i]),ans+=val[i];else con(i,E,-val[i]);
        for(int j=0;j<v[i].size();++j)if(tp[v[i][j]])con(v[i][j],i,S);
    }
    while(bfs())ans-=dfs(0,S);printf("%d
",ans);
}

寿司餐厅

（颓标签之后）最大神的一个？

一定要好好看题啊不然想到暴毙也想不出来。

同一种寿司吃多次只会付出一次代价！！！（是同一种，不是同一个代号）

不然没法做。

现在就是对于每个区间只会获得一次收益，对于每种寿司只会付出一次代价，对于同一个代号的寿司只会付出一次代价。

比较明显的是，

1，如果你吃了区间[l,r]那么你一定也吃了[l,r-1]与[l+1,r]。就是区间的包含关系。

这种关系有传递性，在最大权闭合子图里不必考虑别的了。

2，然后如果你吃了[l,l]那么你就是吃了这种寿司，不管吃了几次都付出$a_i$代价。

3，如果你吃了x这种寿司，那么就表示你一定吃过代号为$a_x$的寿司，不管吃了几种几个都付出$a_x^2 imes m$代价

根据上面这3种关系建边就可以满足题意。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define S 6666666
int fir[S],l[S],to[S],v[S],cur[S],ec=1,pc,o[111][111],a[111],n,m,d[S],q[S],E,O[1111],ans;
bool bfs(){
    for(int i=0;i<=pc;++i)cur[i]=fir[i],d[i]=0;d[0]=1;
    for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
        d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
    return d[E];
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==E)return r;
    for(int i=cur[p];i&&r;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
        cur[p]=i;int x=dfs(to[i],min(r,v[i]));
        if(!x)d[to[i]]=0;
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;
    }return flow-r;
}
void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
void con(int a,int b,int V=S){link(a,b,V);link(b,a,0);}
void add(int a,int V){if(V>0)con(0,a,V),ans+=V;else con(a,E,-V);}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)if(!O[a[i]])O[a[i]]=++pc;
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=i;j<=n;++j)o[i][j]=++pc;
    for(int i=1;i<=n;++i)con(o[i][i],O[a[i]]);
    E=++pc;
    for(int i=1;i<=1000;++i)if(O[i])add(O[i],-i*i*m);
    for(int i=1,x;i<=n;++i){
        scanf("%d",&x);x-=a[i];add(o[i][i],x);
        for(int j=i+1;j<=n;++j)scanf("%d",&x),add(o[i][j],x),con(o[i][j],o[i+1][j]),con(o[i][j],o[i][j-1]);
    }
    while(bfs())ans-=dfs(0,S);printf("%d
",ans);
}

矩阵

其实挺板子的。不要想麻烦。《土兵占领》套个上下界就是这道题。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define S 11111111
int x[205],y[205],n,m,R,L,fir[S],l[S],to[S],v[S],q[S],d[S],ec,SS,SE,E,cur[S],deg[S],tot;
void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
void con(int a,int b,int V){link(a,b,V);link(b,a,0);}
void add(int p,int f){if(f)if(f>0)con(p,SE,f);else con(SS,p,-f),tot-=f;}
bool bfs(){
    for(int i=0;i<=SE;++i)d[i]=0,cur[i]=fir[i];d[q[1]=SS]=1;
    for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&!d[to[i]])
        d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
    return d[SE];
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==SE)return r;
    for(int i=cur[p];r&&i;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
        cur[p]=i;int x=dfs(to[i],min(r,v[i]));
        if(!x)d[to[i]]=0;
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;
    }return flow-r;
}
bool chk(int X){
    for(int i=0;i<=SE;++i)fir[i]=deg[i]=0;ec=1;tot=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)con(0,i,x[i]+X-max(0,x[i]-X)),deg[i]-=max(0,x[i]-X),deg[0]+=max(0,x[i]-X);
    for(int i=1;i<=m;++i)con(i+n,E,y[i]+X-max(0,y[i]-X)),deg[i+n]+=max(0,y[i]-X),deg[E]-=max(0,y[i]-X);
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=m;++j)con(i,j+n,R-L),deg[i]+=L,deg[j+n]-=L;
    for(int i=0;i<=E;++i)add(i,deg[i]);
    con(E,0,0x3fffffff);
    while(bfs())tot-=dfs(SS,S);
    return !tot;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);SS=n+m+2;SE=SS+1;E=SS-1;
    for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1,z;j<=m;++j)scanf("%d",&z),x[i]+=z,y[j]+=z;
    scanf("%d%d",&L,&R);
    int l=0,r=100000,ans;
    while(l<=r)if(chk(l+r>>1))ans=r=l+r>>1,r--;else l=(l+r>>1)+1;
    printf("%d
",ans);
}

支线剧情

有源汇上下界最小费用可行流。算是板子。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define S 33333
int ans,n,fir[S],l[S],to[S],v[S],w[S],ec=1,deg[S],d[S],q[S],iq[S],al[S];
void link(int a,int b,int V,int W){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;w[ec]=W;}
void con(int a,int b,int W){link(a,b,S,W);link(b,a,0,-W);}
bool SPFA(){
    for(int i=1;i<=n+2;++i)d[i]=S;
    for(int h=1,t=1;h<=t;iq[q[h]]=0,++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]>d[q[h]]+w[i]){
        d[to[i]]=d[q[h]]+w[i];
        if(!iq[to[i]])iq[q[++t]=to[i]]=1;
    }return d[n+2]<S;
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==n+2)return r;al[p]=1;
    for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(d[to[i]]==d[p]+w[i]&&v[i]&&!al[to[i]]){
        int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
        if(!x)d[to[i]]=S;
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;ans+=w[i]*x;
    }al[p]=0;return flow-r;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y,c;i<=n;++i){scanf("%d",&x);while(x--)scanf("%d%d",&y,&c),con(i,y,c),deg[i]++,deg[y]--,ans+=c;}
    for(int i=2;i<=n;++i)if(deg[i])if(deg[i]>0)link(i,n+2,deg[i],0),link(n+2,i,0,0);else link(0,i,-deg[i],0),link(i,0,0,0);
    for(int i=1;i<=n;++i)con(i,n+1,0);
    con(n+1,1,0);
    while(SPFA())dfs(0,S);printf("%d
",ans);
}

志愿者招募

每一种志愿者服务的时间是一段连续的区间。于是想到对于每个时间单位拆点连边，卡住下届。

每一种志愿者就是边被，从l连向r没有意义。于是尝试从r连向l-1。

这样的话每个志愿者就对应一个环。这个图没有源汇，有上下界和费用。

听到NC说了标签，于是就剩下一个无源汇上下界最小费用可行流。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define int long long
#define inf 0x3fffffffffffff
int n,m,fir[1005],l[66666],to[66666],v[66666],w[66666],q[66666],iq[1005],ec=1,deg[1005],S,E,ans,d[1005],al[1005];
void link(int a,int b,int V,int c){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;w[ec]=c;}
void con(int a,int b,int V,int c){link(a,b,V,c);link(b,a,0,-c);}
bool bfs(){
    for(int i=0;i<=E;++i)d[i]=inf;d[q[1]=S]=0;
    for(int h=1,t=1;h<=t;iq[q[h]]=0,++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(d[to[i]]>d[q[h]]+w[i]&&v[i]){
        d[to[i]]=d[q[h]]+w[i];
        if(!iq[to[i]])iq[q[++t]=to[i]]=1;
    }return d[E]!=inf;
}
int dfs(int p,int flow){
    if(p==E)return flow;int r=flow;al[p]=1;
    for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(!al[to[i]]&&v[i]&&d[to[i]]==d[p]+w[i]){
        int x=dfs(to[i],min(r,v[i]));
        if(!d[to[i]])d[to[i]]=inf;
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;ans+=x*w[i];r-=x;
    }al[p]=0;return flow-r;
}
main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);S=n+1;E=S+1;
    for(int i=1,x;i<=n;++i)scanf("%lld",&x),con(i-1,i,inf,0),deg[i]-=x,deg[i-1]+=x;
    for(int i=1,l,r,c;i<=m;++i)scanf("%lld%lld%lld",&l,&r,&c),con(r,l-1,inf,c);
    for(int i=0;i<=n;++i)if(deg[i])if(deg[i]>0)con(i,E,deg[i],0);else con(S,i,-deg[i],0);
    while(bfs())dfs(S,inf);
    printf("%lld
",ans);
}

旅行时的困惑

上下界有源汇最小流。就是正向可行流再逆向最大流（尽量退流）

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
#define Z 888888
int n,fir[Z],l[Z],to[Z],v[Z],d[Z],q[Z],deg[Z],S,E,ec=1,ans,cur[Z];
void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
void con(int a,int b){link(a,b,Z);link(b,a,0);}
bool bfs(){
    for(int i=0;i<=n+3;++i)d[i]=0,cur[i]=fir[i];d[q[1]=S]=1;
    for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(!d[to[i]]&&v[i])
        d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
    return d[E];
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==E)return r;
    for(int i=cur[p];i&&r;i=l[i])if(d[to[i]]==d[p]+1&&v[i]){
        int x=dfs(to[i],min(v[i],r));
        if(!x)d[to[i]]=0,cur[p]=l[i];
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;
        if(!v[i])cur[p]=l[i];
    }return flow-r;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y;i<n;++i)scanf("%d%d",&x,&y),x++,y++,con(x,y),deg[x]++,deg[y]--;
    for(int i=1;i<=n;++i)con(0,i),con(i,n+1);con(n+1,0);S=n+2;E=n+3;
    for(int i=1;i<=n;++i)if(deg[i])if(deg[i]>0)link(i,E,deg[i]),link(E,i,0);else link(S,i,-deg[i]),link(i,S,0);
    while(bfs())dfs(S,Z);
    for(int i=fir[0];i;i=l[i])if(v[i]>700000)ans+=Z-v[i];else if(to[i]==n+1)v[i]=v[i^1]=0;
    S=n+1;E=0;while(bfs())ans-=dfs(S,Z);printf("%d
",ans);
}

清理雪道

同上。

#include<cstdio>
#include<iostream>
using namespace std;
int n,fir[111],l[66666],to[66666],d[111],v[66666],w[111],S,E,q[111],ans,ec=1;
void link(int a,int b,int V){l[++ec]=fir[a];fir[a]=ec;to[ec]=b;v[ec]=V;}
void con(int a,int b){link(a,b,66666);link(b,a,0);}
bool bfs(){
    for(int i=0;i<=n+3;++i)d[i]=0;d[q[1]=S]=1;
    for(int h=1,t=1;h<=t;++h)for(int i=fir[q[h]];i;i=l[i])if(!d[to[i]]&&v[i])
        d[q[++t]=to[i]]=d[q[h]]+1;
    return d[E];
}
int dfs(int p,int flow){int r=flow;
    if(p==E)return r;
    for(int i=fir[p];i&&r;i=l[i])if(v[i]&&d[to[i]]==d[p]+1){
        int x=dfs(to[i],min(r,v[i]));
        if(!x)d[to[i]]=0;
        v[i]-=x;v[i^1]+=x;r-=x;
    }return flow-r;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1,x,y;i<=n;++i){scanf("%d",&x);while(x--)scanf("%d",&y),con(i,y),w[i]++,w[y]--;}
    for(int i=1;i<=n;++i)con(0,i),con(i,n+1);
    con(n+1,0);S=n+2;E=n+3;
    for(int i=0;i<=n+1;++i)if(w[i])if(w[i]>0)link(i,E,w[i]),link(E,i,0);else link(S,i,-w[i]),link(i,S,0);
    while(bfs())dfs(S,66666);
    for(int i=fir[0];i;i=l[i])if(v[i]>60000)ans+=66666-v[i];
    S=n+1;E=0;
    for(int i=fir[S];i;i=l[i])if(!to[i]&&v[i]>60000)v[i]=v[i^1]=0;
    while(bfs())ans-=dfs(S,66666);
    printf("%d
",ans);
}