每次问NC做多项式的题需要什么知识点。
各种数。
各种反演。
多项式全家桶。
然后我就一个一个地学知识点。然而还差好多，学到后面的前面的已经忘了（可能是我太菜吧不是谁都是NC啊）
然后发现每个知识点基本只做一道题，肯定会忘，所以再归纳一下。
不附证明只写结论以便查阅，如果需要证明还是自行百度。
第一类斯特林数
- 含义：$left[ ^k_n ight]$表示讲n个元素划分为k个环的方案数。
- 递推公式：$left[ ^k_n ight] = left[ ^k_{n-1} ight] imes (n-1)+ left[ ^{k-1}_{n-1} ight]$
- 求一行：$left[ ^k_n ight]$是多项式$f_n(x) = prodlimits_{i=0}^{n-1} (x+i)$的k次项系数。这个多项式乘法可以进行分治递归求解，复杂度$O(nlog^2n)$。存在$O(nlogn)$的做法，比较复杂，贴一个链接。
- 应用：$x^{overline{n}}=sumlimits_{k=0}^{n} left[ ^k_n ight] x^k$。比较少见。
第二类斯特林数
- 含义：$left{ ^k_n ight}$表示讲n个元素划分为k个集合的方案数。
- 递推公式：$left{ ^k_n ight} =left{ ^k_{n-1} ight} imes k+ left{ ^{k-1}_{n-1} ight}$
- 求单点/一行：$left { ^n_k ight }=sumlimits_{i=0}^{k} frac{(-1)^{k-i} imes i^n}{(k-i)! imes i!}$。单点直接$O(n)$枚举，一行的话NTT算卷积。
- 应用：$x^n=sumlimits_{i=0}^{n} left { ^n_k ight } imes frac{x!}{(x-i)!}$。
- 例题：《图的价值》
伯努利数
- 含义：$sumlimits_{i=1}^{n} i^d = frac{1}{d+1} sumlimits_{i=0}^{d} C_{d+1}^{i} B_i n^{d+1-i} $。其中的系数$B_i$就是伯努利数。
- 递推公式：$ sumlimits_{k=0}^{n} C_{n+1}^{k} imes B_k =0 $ 。复杂度是$O(n^2)$的。
- 求值：运用多项式求逆可以做到$O(nlogn)$。然而我还不会，贴一个链接。
- 应用：自然数幂和（常用）。与两类斯特林数可以转化。
- 例题：《一个人的数论》其实这个题并不很伯努利但是我做题太少。。。
莫比乌斯函数
- 含义：$mu(prime)=-1$，$mu(i^2 imes x)=0$,else $mu(x)=1$
- 求值：线筛。杜教筛求前缀和。
- 应用：容斥系数，莫比乌斯反演。
- 例题：太多。
欧拉函数
- 含义：比x小且与x互质的数的个数
- 求值：线筛。
- 应用：容斥系数，欧拉反演。
- 例题：不少。
反演（个人理解）
- 含义：你现在有用g函数得到f函数的公式，把它转化为用f函数表示g函数的形式。
- 基本形式：$f(n) = sumlimits_{condition1} g(i) Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{condition2} f(i)$
二项式反演
- 基本形式：$f(n)=sumlimits_{i=0}^{n} (-1)^{i} imes C_n^i imes g(i) Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^{n} (-1)^{i} imes C_n^i imes f(i)$
- 常用形式：$f(n)=sumlimits_{i=0}^{n} C_n^i imes g(i) Leftrightarrow g(n)=sumlimits_{i=0}^{n} (-1)^{n-i} imes C_n^i imes f(i)$
- 应用：证明其它反演，化简带组合数的式子。
- 例题：《染色》
莫比乌斯反演
- 基本形式：$f(n)=sumlimits_{d|n} g(d) Leftrightarrow g(n) = sumlimits_{d|n} f(d) imes mu(frac{n}{d})$
- 常用形式：$[n]=sumlimits_{d|n} mu(d)$。
- 应用：gcd/lcm之类的有关倍数，因子之类的题目。
- 例题：《一个人的数论》
欧拉反演
- 基本形式：$n=sumlimits_{d|n} phi(d)$
- 应用：gcd/lcm之类的玩意。
子集反演
- 基本形式：$f(S)=sumlimits_{T subseteq S} g(T) Leftrightarrow g(S) = sumlimits_{T subseteq S} (-1)^{|S|-|T|} imes f(T)$
- 应用：与FWT结合求解子集类问题。
- 例题：《遗失的答案》（还不会做正在学习）
待补。。。