[考试反思]0603四校联考第一轮day1：星辰

开学第一场考试是辣鸡$whzzt$出的题。题目毒瘤题解瞎写。

这套题体验又是极差。

虽说前俩题爆零这个事吧。。。

$T1$为了卡常于是改了变量名然后没改全挂了$10pts$问题不大。

$T2$无解判定少写了一条直接把$20pts$也挂没了问题依然不大。

$T3$的$60pts$倒是不低勉强扛住了这场的排名。

然而这次关键是在$T1$。并不是很难，但是根本没有砸时间。

在学校状态比在家是会好一些，貌似。不知道不吃早饭有没有影响。

只剩下$7$场模拟了。。。

T1：解码

大意：给定$n,m,c$。存在奇质数$p,q$使$pq=n,2 le q-p le 3 imes 10^5$，有$(c,(p-1)(q-1))=1$。求一个$x$使得$x^c equiv m (mod n)$。$10^9 le p le 2 imes 10^9,T le 10^5$

答案肯定有$m^{frac{1}{c}} (mod n)$。$c$关于$varphi(n)$有逆元所以直接搞就可以。

问题在于快速求$phi$也就是快速得到$p,q$。我们有$pq=n$。设$q=p+y$则有$p^2+py=n$。也就有$p=frac{-y + sqrt{y^2+4n}}{2}$

为了让它是个整数，所以$y^2+4n$一定要是$4$的倍数且为完全平方数。设$t=frac{y}{2}$则有$t^2+n=k^2$

我们枚举$k$，下界是$sqrt{n}$。由于$p ge 10^9$此后$k$每增加$1$都会使$k^2$增加$O(10^9)$。

根据题意我们有$t le 1.5 imes 10^5$。所以$t^2$这一项最多也就增长$frac{(1.5 imes 10^5)^2}{10^9}=15$次左右。所以只需要枚举$k$就行了。

需要快速乘。时间复杂度$O(Tlogn+15T)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,c;
ll mul(ll a,ll b,ll m){return ((a*b-(ll)(1.L*a/m*b)*m)%m+m)%m;}
ll qp(ll b,ll t,ll m,ll a=1){for(;t;t>>=1,b=mul(b,b,m))if(t&1)a=mul(a,b,m);return a;}
void exgcd(ll a,ll b,ll&x,ll&y){
    if(!b){x=1;y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);ll r=x;x=y;y=r-a/b*x;
}
ll inv(ll a,ll b){ll x,y;exgcd(a,b,x,y);return (x%b+b)%b;}
int main(){freopen("rsa.in","r",stdin);freopen("rsa.out","w",stdout);int t;scanf("%d",&t);while(t--){
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&c);
    ll k,t,p,q,phi;
    k=sqrt(n);
    while(1){
        t=sqrt(k*k-n);
        if(t*t+n==k*k)break;k++;
    }phi=(k-t-1)*(k+t-1);
    printf("%lld
",qp(m,inv(c%phi,phi),n));
}}

T2：排列

大意：给定长为$n$的数列$x$，构造$m$个长为$n$的排列$P_i$并赋权$v_i$使得$0 le v_i le 1,sum v_i =1,sum P_iv_i=x,m le n$。$n le 500,eps=10^{-4}$

首先考虑无解判定。

$sumlimits_{i=1}^{n} x_i = frac{n(n+1)}{2}$

$forall Nle n,sumlimits_{i=1}^{N} x_i ge frac{N(N+1)}{2}$

必要性比较显然。

充分性的话，考虑把$n!$种可能的排列都表示为$n$维向量，那么满足上述条件的点构成的是一个平面凸包（$sum v_i =1$的限制所致）

进而考虑构造方法：每次按照当前的数列$x$的元素大小顺序构造排列$P_i$。也就是最小的位置$a$对应$P_{i,a}=1$这样。

然后可以二分$v_i$的值，存在单调性（如果减的数量不够那就再减一轮）。

由于一个任意$n$维向量均可以由$n$个非线性相关的$n$维向量线性表出，所以一定可以构造出解。

稍微卡精。$O(n^2log eps)$

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ldb long double
#define eps 1e-12L
#define S 505
ldb r[S],a[S],rat=1;int n,x[S],p[S];
bool chk(){
    sort(r+1,r+1+n); ldb tot=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){tot+=r[i]-rat*i;if(tot<-eps)return 0;}
    return fabs(tot)<=eps;
}
bool cmp(int x,int y){return a[x]<a[y];}
int main(){
    freopen("permutation.in","r",stdin);freopen("permutation.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%Lf",&a[i]),r[i]=a[i],x[i]=i;
    if(!chk())return puts("-1"),0; printf("%d
",n);
    for(int _=1;_<=n;++_){
        sort(x+1,x+1+n,cmp); for(int i=1;i<=n;++i)p[x[i]]=i;
        ldb L=0,R=rat,m;
        while(m=(L+R)/2,R-L>1e-14L){
            for(int i=1;i<=n;++i)r[i]=a[i]-p[i]*m;
            rat-=m;if(chk())L=m;else R=m;rat+=m;
        }
        for(int i=1;i<=n;++i)a[i]-=p[i]*L;rat-=L;
        printf("%.9Lf ",L);
        for(int i=1;i<=n;++i)printf("%d ",p[i]);puts("");
    }
}

T3：安排

先咕掉，等$WK$讲或者再看看$std$再说。