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  • 「狗屁不会」exlucas

    填坑
    考试的时候不会自闭了,考完板子打不对自闭了。
    lucas用来处理一类问题 (C_n^{m}mod P) 其中P为质数。
    可是如果P变成GK非质数了咋办??
    就要用exlucas了。
    首先,如果设P=(prod {p_i}^{c_i}),那么如果能分别求出组合数模质数幂的答案,就可以用CRT合并了。
    现在问题转化为求(C_n^m mod p^k)
    有基本式子(C_n^m=frac{n!}{m!(n-m)!}),然后唯一的问题就是如果n!,(n-m)!模(p^k)意义下无逆元怎么办。
    无逆元是因为不互质,所以考虑把p都提出来,也就是(C_n^m=frac{frac{n!}{p^x}}{frac{m!}{p^y}frac{(n-m)!}{p^z}}p^{x-y-z})也就是求参考lucas的形式,可以递归实现求(frac{n!}{p^x})
    具体来说,对于n先把含p因子的提出来。
    (n!=p^{left lfloor frac{n}{p} ight floor}left lfloor frac{n}{p} ight floor!prodlimits_{i=1&&iperp p}^n i)
    质因子只会来自于第一项与第二项。第一项直接搞掉,第二项递归下去,第三项可以预处理。
    具体看代码吧。

    #include<cstdio>
    #include<iostream>
    #define LL long long
    #define int LL
    #define Pair pair<int,int>
    #define fr first
    #define sc second
    #define mp make_pair
    using namespace std;
    const int N=35;
    int pk[N],pc[N],tt,p,k,kx,tk[N],js[N][1000005];
    inline int qpow(int a,int b,int mod=k,int c=1) {
    	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod) if(b&1) c=1ll*c*a%mod;
    	return c;
    }
    Pair calc(int x) {
    	if(!x) return make_pair(1,0);Pair tmp=calc(x/p);
    	return make_pair(tmp.fr*qpow(js[kx][k-1],x/k)%k*js[kx][x%k]%k,tmp.sc+x/p);
    }
    inline int C(int n,int m) {
    	if(m>n) return 0; Pair x=calc(n),y=calc(m),z=calc(n-m);
    	return x.fr*qpow(y.fr,k-k/p-1)%k*qpow(z.fr,k-k/p-1)%k*qpow(p,x.sc-y.sc-z.sc)%k;
    }
    inline int CRT(int ans=0,int M=1) {
    	for(int i=1;i<=tt;++i) M=M*pc[i];
    	for(int i=1;i<=tt;++i) k=pc[i],ans=(ans+qpow(M/k,pc[i]-pc[i]/pk[i]-1)*tk[i]%k*(M/k))%M;
    	return ans;
    }
    signed main() {
    	LL n,m;int P; scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&P);int x=P;
    	for(int i=2;i*i<=x;++i) {
    		if(x%i==0) {
    			++tt;pk[tt]=pc[tt]=i;x/=i;
    			while(x%i==0) x/=i,pc[tt]*=i;
    		}
    	}
    	if(x^1) ++tt,pk[tt]=pc[tt]=x;
    	for(kx=1;kx<=tt;++kx) {
    		js[kx][0]=1;p=pk[kx],k=pc[kx];
    		for(int j=1;j<k;++j) {
    			if(j%p==0) js[kx][j]=js[kx][j-1];
    			else js[kx][j]=1ll*js[kx][j-1]*j%k;
    		}
    		tk[kx]=C(n,m);
    	}
    	printf("%lld
    ",CRT());
    	return 0;
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/hzoi-kx/p/12142050.html
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