前言
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中，矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。
基本介绍
（该部分为入门向，非入门选手可以跳过）
由 m行n列元素排列成的矩形阵列。矩阵里的元素可以是数字、符号或数学式。
比如一个$m imes n$的矩阵可以表示为：
$$ A=egin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}\
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}\
a_{31} & a_{32} & cdots & a_{3n}\
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{bmatrix} $$
这$ m imes n$个数称为矩阵的元素，简称为元。数$ a_{ij} $位于矩阵的第i行第j列，称为矩阵的$ (i,j) $ 元，以数$ a_{ij}$为$(i,j)$元的矩阵可记为$(a_{ij})$或$(a_{ij})_{m imes n}$，$m imes n$矩阵A也记为$A_{mn}$
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵。而行数和列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。n阶方阵中所有$i=j$的元素$a_{ij}$组成的斜线称为（主）对角线，所有$i+j=n+1$的元素$a_{ij}$组成的斜线称为辅对角线。
本文讨论的重点运算——矩阵乘
两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的列数和第二个矩阵B的行数相等时才能定义。如A是$m imes n$矩阵、B是$n imes p$矩阵，他们的乘积C是一个$m imes p$矩阵$c=(c_{ij})$，它的任意一个元素值为：
$$c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+cdots+a_{i,n}b_{n,j}=sum_{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j}$$
并将此乘积记为：$C=AB$。例如：
矩阵乘满足结合律、左分配律、右分配律，但是不满足交换律。即：
$(AB)C=A(BC)$
$(A+B)C=AC+BC$
$C(A+B)=CA+CB$
上一波代码：
1 struct matrix{ 2 int data[233][233]; 3 matrix operator*(const matrix &a){ 4 matrix tmp; 5 for(int i=0;i<233;i++) 6 for(int j=0;j<233;j++){ 7 tmp.data[i][j]=0; 8 for(int k=0;k<233;k++) 9 tmp.data[i][j]+=data[i][k]*a.data[k][j]; 10 } 11 return tmp; 12 } 13 matrix operator*=(const matrix &a){ 14 *this=*this*a; 15 return *this; 16 } 17 };
关于重载什么的，可以参考我的另一篇博文——[技术]浅谈重载操作符
裸乘自然不会怎么出现，OI中，一般都是用的矩阵快速幂，而矩阵快速幂与普通快速幂并没有什么差别，原理也是相同的。
普通快速幂科普：
首先我们考虑，$a^{11}$可以怎样求？
朴素法：$O(n)$，一个一个乘
快速幂：$O(logn)$，$a^{11}=a^{2^{0}+2^{1}+2^{3}}$也就是说，我们只需不断乘上$a^{2^{x}}$即可计算，而这样的计算，可以由指数得到，复杂度为$O(logn)$
代码：
inline int po(int x,int p){ int ret(1); while(p){ if(p&1)//判断是否为奇数 ret*=x; x*=x; p>>=1;//除以2 } return ret; }
那么矩阵快速幂就很简单了
代码如下：
struct matrix{ int data[233][233]; matrix operator*(const matrix &a){ matrix tmp; for(int i=0;i<233;i++) for(int j=0;j<233;j++){ tmp.data[i][j]=0; for(int k=0;k<=233;k++) tmp.data[i][j]+=data[i][k]*a.data[k][j]; } return tmp; } matrix operator*=(const matrix &a){ *this=*this*a; return *this; } void identity(){ memset(data,0,sizeof(data)); for(int i=0;i<233;i++) data[i][i]=1; } }; inline matrix pow(const matrix &a,int p){ matrix tmp; tmp.identity(); while(p){ if(p&1) tmp*=a; a*=a; p>>=1; } return tmp; }
基本运用
矩阵快速幂可以用来求一些递推关系，比如说最简单的就是斐波那契数列了
我们知道，斐波那契数列的基本递推公式为：
$$f_{i}=f_{i-1}+f_{i-2}$$
那么我们可以设矩阵A和B（其实这玩意儿是向量）：
[A=egin{bmatrix} f_{i-1}\ f_{i-2} end{bmatrix}]
[B=egin{bmatrix} f_{i}\ f_{i-1} end{bmatrix}]
然后我们的问题就转化为，如何找到一个矩阵X使其能够达到如下转移：
$$B=XA$$
我们考虑矩阵乘法的定义，也就是说，我们要找到一个
的矩阵才能满足前后两个矩阵的行列数（如果一定要说为啥的话，可能会扯一些线性代数什么奇奇怪怪的东西）。那么我们可以设该矩阵X为：
egin{bmatrix}
a_{11} &a_{12}\
a_{21} &a_{22}
end{bmatrix}
那么XA的运算过程为：
我们令
$$a_{11} imes f_{i-1}+a_{12} imes f_{i-2}=f_{i}$$
$$a_{21} imes f_{i-1}+a_{22} imes f_{i-2}=f_{i-1}$$
由斐波那契数列通项公式:
$$f_{i}=f_{i-1}+f_{i-2}$$
可以解得第一个方程中$a_{11}=1,a_{12}=1$
而显然，第二个方程中，令$a_{21}=1,a_{22}=0$，则等式恒成立
所以解得
我们再设初始矩阵
那么：
我们就可以轻松地取出斐波那契数了
代码：
1 #include<string> 2 #include<cstring> 3 #include<cstdio> 4 using namespace std; 5 const int mod=10000; 6 class matrix{ 7 public: 8 int a[2][2]; 9 matrix() 10 { 11 memset(a,0,sizeof(a)); 12 } 13 matrix operator*(matrix &x){ 14 matrix b; 15 for(int i=0;i<2;i++) 16 for(int j=0;j<2;j++){ 17 b.a[i][j]=0; 18 for(int k=0;k<2;k++) 19 b.a[i][j]+=(a[i][k]*x.a[k][j]); 20 b.a[i][j]%=mod; 21 } 22 return b; 23 } 24 matrix operator*=(matrix &x){ 25 *this=*this*x; 26 return *this; 27 } 28 }; 29 matrix init(){ 30 matrix res; 31 for(int i=0;i<2;i++) 32 for(int j=0;j<2;j++) 33 res.a[i][j]=(i==j); 34 return res; 35 } 36 matrix ks(matrix x,int k){ 37 matrix res=init(); 38 while(k){ 39 if(k&1) 40 res=res*x; 41 k>>=1; 42 x=x*x; 43 } 44 return res; 45 } 46 int n; 47 int main(){ 48 matrix con; 49 con.a[0][0]=1; 50 con.a[1][0]=1; 51 con.a[0][1]=1; 52 con.a[1][1]=0; 53 matrix f; 54 f.a[0][0]=1; 55 f.a[0][1]=2; 56 while(cin>>n&&n!=-1){ 57 if(n==0){ 58 cout<<0<<endl; 59 continue; 60 } 61 if(n==1||n==2){ 62 cout<<1<<endl; 63 continue; 64 } 65 matrix res=ks(con,n-1); 66 res*=f; 67 cout<<res.a[0][0]<<endl; 68 } 69 }
同样的，我们也可以把这种思想转移至其他递推关系中，比如说，我们有以下递推关系：
$$f_{i}=a_{1}f_{i-1}+a_{2}f_{i-2}+cdots +a_{k}f_{i-k}$$
我们可以用同样的思路求解转移矩阵X，来达到优化求解的目的
比如说上述递推关系的转移矩阵就为：
egin{bmatrix}
a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{4}& a_{5}\
1 & 0 & 0 & cdots & 0\
0 & 1 & 0 & cdots & 0 \
vdots &vdots &vdots & ddots & vdots \
0 & 0 & cdots & 1 & 0
end{bmatrix}
请读者用项数较小的递推关系证明该矩阵的正确性
进阶
我们有了这样一个工具，但是显然，除非是入门向的裸题，我们首先要能想到矩阵，才能使用它。那么，什么样的题目容易让人想到矩阵呢？
- 数据范围极大，比如$10^{18}$什么的，$O(n)$都过不去的，可以尝试用矩阵转移
- 有明显可以使用矩阵快速幂的递推关系的（这个等一会 会说到）
- 实在想不出来怎么用其他算法，只能乱搞的时候
貌似目前想不到什么了，（可能还是我比较弱，没做过太多题吧）
那么，什么叫明显可以使用矩阵快速幂的递推关系呢？
先上个简单例题：
在这道题中，我们忽略字符串因素，（忽略个鬼，就这玩意难），剩下的就是一个很简单的递推，我们发现，该递推关系中，我们用到了加法原理与乘法原理，这是很多递推求方案数的关键点。
我们重新观察一下上述矩阵乘的表达式：
$$c_{i,j}=a_{i,1}b_{1,j}+a_{i,2}b_{2,j}+cdots+a_{i,n}b_{n,j}=sum_{r=1}^{n}a_{i,r}b_{r,j}$$
我们由一步递推开始讨论，设一初始矩阵A：
$$ A=egin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n}\
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n}\
a_{31} & a_{32} & cdots & a_{3n}\
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{m1} & a_{m2} & cdots & a_{mn}
end{bmatrix} $$
其中
表示由第i种状态一步转移到第j种状态的方案数，那么我们让A平方一下，会发生什么呢？
$$A^{2}$$
$$= egin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & cdots & a_{2n} \
a_{31} & a_{32} & cdots & a_{3n} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
a_{n1} & a_{n2} & cdots & a_{nn}
end{bmatrix}^{2}$$
$$= egin{bmatrix}
sum_{r=1}^{n}a_{1r} imes a_{r1} & sum_{r=1}^{n}a_{1r} imes a_{r2} & cdots & sum_{r=1}^{n}a_{1r} imes a_{rn} \
sum_{r=1}^{n}a_{2r} imes a_{r1} & sum_{r=1}^{n}a_{2r} imes a_{r2} & cdots & sum_{r=1}^{n}a_{2r} imes a_{rn} \
sum_{r=1}^{n}a_{3r} imes a_{r1} & sum_{r=1}^{n}a_{3r} imes a_{r2} & cdots & sum_{r=1}^{n}a_{3r} imes a_{rn} \
vdots & vdots & ddots & vdots \
sum_{r=1}^{n}a_{nr} imes a_{r1} & sum_{r=1}^{n}a_{nr} imes a_{r2} & cdots & sum_{r=1}^{n}a_{nr} imes a_{rn}
end{bmatrix}$$
看着这个式子一定还是会十分有点懵，那么我们就拿出平方后的$(1,1)$元来研究。
$(1,1)$元显然等于：
$$sum_{r=1}^{n}a_{1r}a_{r1}$$
我们感性理解一下，想象当前有n个节点，每两点可以互相到达，并有不同的方案，从节点一经两步回到节点一的方案有多少？
由分类加法原理可得：
$$1 ightarrow 1(two steps)=1 ightarrow 1 ightarrow 1+1 ightarrow 2 ightarrow 1+cdots +1 ightarrow n ightarrow 1$$
而由分步乘法原理可得：
$$1 ightarrow x ightarrow 1=(1 ightarrow x) imes (x ightarrow 1)$$
那么我们从节点一走两步回到节点一的方案数即为：
$$sum_{i=1}^{n}(1 ightarrow i) imes (i ightarrow 1)$$
而$1 ightarrow i$不就是$a_{1i}$吗？所以，当前这个式子的结果，正好是进行矩阵乘之后$a_{11}$的值。
同样的，我们可以把这个结果推广到n步的情况，我们得到初始矩阵之后，用快速幂求解，就可以得到n步之后，各个状态之间的转移情况了。
所以，这可能就是我们常见的运用矩阵快速幂的情况吧。
题表
总结
当出现明显可以使用矩阵解决递推关系时，试着推出递推式
当出现求某种转移方案数时，尝试向矩阵快速幂靠拢，从而使用矩阵
正确理解矩阵，考试不会出裸题，只有想到能用它才是正解，才能将其变成自己的东西
谢谢您的阅读，希望对您有用！