COGS 有标号的二分图计数系列

其实这三道题都是不错的……(虽然感觉第三题略套路了……)

分别写一下做法好了……

COGS2392 有标号的二分图计数 I

这个就很简单了，Noip难度。

显然可以直接认为黑点和白点分别位于二分图两侧，枚举二分图左侧的点数，如果左侧的点数为$k$，那么就有$C_n^k$种选择方案，并且有$k(n-k)$条边可选，因为每条边都可以选或不选，因此答案就是

egin{align}sum_{k=0}^n C_n^k 2^{k(n-k)}end{align}

由于只需求出一个答案，直接快速幂搞一搞即可，复杂度$O(nlog n)$。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define fac(x) (((x)<(0))?(0):(f[(x)]))
using namespace std;
const int maxn=100010;
const LL p=998244353ll;
LL inv(LL);
LL qpow(LL,LL);
LL C(int,int);
int n;
LL f[maxn<<1],ans=0;
int main(){
#define MINE
#ifdef MINE
    freopen("QAQ_bipartite_one.in","r",stdin);
    freopen("QAQ_bipartite_one.out","w",stdout);
#endif
    scanf("%d",&n);
    f[0]=1ll;
    for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=f[i-1]*i%p;
    for(int i=0;i<=n;i++)(ans+=C(n,i)*qpow(2ll,(LL)(n-i)*i%(p-1ll)))%=p;
    printf("%d",(int)ans);
    return 0;
}
LL inv(LL x){
    return qpow(x,p-2ll);
}
LL qpow(LL a,LL b){
    LL ans=1ll;
    for(;b;b>>=1,(a*=a)%=p)if(b&1ll)(ans*=a)%=p;
    return ans;
}
LL C(int n,int m){
    return fac(n)*inv(fac(m)*fac(n-m)%p)%p;
}

(这代码是我很久之前写的了，十分丑陋，不要介意……)

 

COGS2393 有标号的二分图计数 II

设上一题的指数生成函数是$F(x)$，这题的指数生成函数为$G(x)$，强制必须连通的指数生成函数是$H(x)$，显然有

egin{align}G=sum_{i=0}^inftyfrac{H^i}{i!}=e^{H}end{align}

然后考虑$F$和$H$的关系，如果某个二分图有$k$个连通块，那么它在第一题中就会被计算$2^k$次，所以我们需要把每一项乘上$2^k$，因此就有

egin{align}F=sum_{i=0}^inftyfrac{2^iH^i}{i!}=e^{2H}end{align}

然后可以看出来$F=G^2$，也就是$G=sqrt F$，跑一下多项式开根即可求出$G$。

但是还有一个最重要的问题，这个$F$不好算……

$F$显然是没法直接算了，但观察到$F$的形式和卷积比较像，因此我们可以尝试把$F$化成卷积形式。显然最碍事的就是$2^{n(n-k)}$了，只要解决掉它，一切就都好说了。

首先我们有$k(n-k)=k^2-nk$，把$nk$用$frac{n^2+k^2-(n-k)^2}2$替换之后就可以得到$k(n-k)=frac{n^2-k^2-(n-k)^2}2$，因此$2^{k(n-k)}=frac{left(sqrt 2 ight)^{n^2}}{left(sqrt 2 ight)^{k^2}left(sqrt 2 ight)^{(n-k)^2}}$，然后就是卷积形式了，一遍NTT即可求出$F$。

ps：我没有想出来，这是看了ad学长的题解才明白的，感觉还是比较妙啊……

在$mod 998244353$意义下是存在$sqrt 2$的，暴力一下并把暴力出的答案直接写到代码里即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=262200,p=998244353,g=3,sqrt_2=116195171,inv_2=499122177;
void NTT(int*,int,int);
void getsqrt(int*,int*,int);
void getinv(int*,int*,int);
int qpow(int,int,int);
int n,N=1,A[maxn],B[maxn],fac[maxn],pw[maxn];
int main(){
    freopen("QAQ_bipartite_two.in","r",stdin);
    freopen("QAQ_bipartite_two.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    while(N<=n)N<<=1;
    A[0]=fac[0]=pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=(long long)fac[i-1]*i%p;
        pw[i]=qpow(sqrt_2,(long long)i*i%(p-1),p);
        A[i]=qpow((long long)fac[i]*pw[i]%p,p-2,p);
    }
    NTT(A,N<<1,1);
    for(int i=0;i<(N<<1);i++)A[i]=(long long)A[i]*A[i]%p;
    NTT(A,N<<1,-1);
    for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=(long long)A[i]*pw[i]%p;
    fill(A+n+1,A+(N<<1),0);
    getsqrt(A,B,N);
    printf("%d",(int)((long long)B[n]*fac[n]%p));
    return 0;
}
void NTT(int *A,int n,int tp){
    for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){
        k=n;
        do j^=(k>>=1);while(j<k);
        if(i<j)swap(A[i],A[j]);
    }
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p);
        for(int i=0;i<n;i+=k){
            int w=1;
            for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){
                int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p;
                A[i+j]=(a+b)%p;
                A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p;
            }
        }
    }
    if(tp<0){
        int inv=qpow(n,p-2,p);
        for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
    }
}
void getsqrt(int *A,int *C,int n){
    static int B[maxn],D[maxn];
    fill(C,C+(n<<1),0);
    C[0]=1;
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        copy(A,A+k,B);
        fill(B+k,B+(k<<1),0);
        getinv(C,D,k);
        NTT(B,k<<1,1);
        NTT(D,k<<1,1);
        for(int i=0;i<(k<<1);i++)B[i]=(long long)B[i]*D[i]%p;
        NTT(B,k<<1,-1);
        for(int i=0;i<k;i++)C[i]=(long long)(C[i]+B[i])*inv_2%p;
    }
}
void getinv(int *A,int *C,int n){
    static int B[maxn];
    fill(C,C+(n<<1),0);
    C[0]=qpow(A[0],p-2,p);
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        copy(A,A+k,B);
        fill(B+k,B+(k<<1),0);
        NTT(B,k<<1,1);
        NTT(C,k<<1,1);
        for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=C[i]*((2-(long long)B[i]*C[i]%p+p)%p)%p;
        NTT(C,k<<1,-1);
        fill(C+k,C+(k<<1),0);
    }
}
int qpow(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
    return ans;
}

 

COGS2395 有标号的二分图计数 III

你还记得$F=e^{2H}$不……

然后就很好说了，多项式$ln$之后答案就是对应项系数$/2$……

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=262200,p=998244353,g=3,sqrt_2=116195171,inv_2=499122177;
void NTT(int*,int,int);
void getln(int*,int*,int);
void getinv(int*,int*,int);
void getderivative(int*,int*,int);
void getintegrate(int*,int*,int);
int qpow(int,int,int);
int n,N=1,A[maxn],B[maxn],fac[maxn],pw[maxn];
int main(){
    freopen("QAQ_bipartite_thr.in","r",stdin);
    freopen("QAQ_bipartite_thr.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    while(N<=n)N<<=1;
    A[0]=fac[0]=pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        fac[i]=(long long)fac[i-1]*i%p;
        pw[i]=qpow(sqrt_2,(long long)i*i%(p-1),p);
        A[i]=qpow((long long)fac[i]*pw[i]%p,p-2,p);
    }
    NTT(A,N<<1,1);
    for(int i=0;i<(N<<1);i++)A[i]=(long long)A[i]*A[i]%p;
    NTT(A,N<<1,-1);
    for(int i=0;i<=n;i++)A[i]=(long long)A[i]*pw[i]%p;
    fill(A+n+1,A+(N<<1),0);
    getln(A,B,N);
    printf("%d",(int)((long long)B[n]*fac[n]%p*inv_2%p));
    return 0;
}
void NTT(int *A,int n,int tp){
    for(int i=1,j=0,k;i<n-1;i++){
        k=n;
        do j^=(k>>=1);while(j<k);
        if(i<j)swap(A[i],A[j]);
    }
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        int wn=qpow(g,(tp>0?(p-1)/k:(p-1)/k*(long long)(p-2)%(p-1)),p);
        for(int i=0;i<n;i+=k){
            int w=1;
            for(int j=0;j<(k>>1);j++,w=(long long)w*wn%p){
                int a=A[i+j],b=(long long)w*A[i+j+(k>>1)]%p;
                A[i+j]=(a+b)%p;
                A[i+j+(k>>1)]=(a-b+p)%p;
            }
        }
    }
    if(tp<0){
        int inv=qpow(n,p-2,p);
        for(int i=0;i<n;i++)A[i]=(long long)A[i]*inv%p;
    }
}
void getln(int *A,int *C,int n){
    static int B[maxn];
    getderivative(A,B,n);
    getinv(A,C,n);
    NTT(B,n<<1,1);
    NTT(C,n<<1,1);
    for(int i=0;i<(n<<1);i++)B[i]=(long long)B[i]*C[i]%p;
    NTT(B,n<<1,-1);
    getintegrate(B,C,n);
    fill(C+n,C+(n<<1),0);
}
void getinv(int *A,int *C,int n){
    static int B[maxn];
    fill(C,C+(n<<1),0);
    C[0]=qpow(A[0],p-2,p);
    for(int k=2;k<=n;k<<=1){
        copy(A,A+k,B);
        fill(B+k,B+(k<<1),0);
        NTT(B,k<<1,1);
        NTT(C,k<<1,1);
        for(int i=0;i<(k<<1);i++)C[i]=C[i]*((2-(long long)B[i]*C[i]%p+p)%p)%p;
        NTT(C,k<<1,-1);
        fill(C+k,C+(k<<1),0);
    }
}
void getderivative(int *A,int *C,int n){
    for(int i=1;i<n;i++)C[i-1]=(long long)A[i]*i%p;
    C[n-1]=0;
}
void getintegrate(int *A,int *C,int n){
    for(int i=1;i<n;i++)C[i]=(long long)A[i-1]*qpow(i,p-2,p)%p;
    C[0]=0;
}
int qpow(int a,int b,int p){
    int ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=(long long)a*a%p)if(b&1)ans=(long long)ans*a%p;
    return ans;
}