分金币 [CQOI 2011] [BZOJ 3293]

Description

 圆桌上坐着n个人，每人有一定数量的金币，金币总数能被n整除。每个人可以给他左右相邻的人一些金币，最终使得每个人的金币数目相等。你的任务是求出被转手的金币数量的最小值。

 Input

 第一行为整数n（n>=3），以下n行每行一个正整数，按逆时针顺序给出每个人拥有的金币数。

Output

输出被转手金币数量的最小值。

Sample Input

4
1
2
5
4

Sample Output

4

HINT

设四个人编号为1,2,3,4。第3个人给第2个人2个金币（变成1,4,3,4），第2个人和第4个人分别给第1个人1个金币。

N<=<=100000,总金币数<=10^9

Solution

贪心来看，对于每个人和他右手边的小伙伴，要么这个人给小伙伴金币，要么小伙伴给这个人两个人不可能互相传递，因为如果有这样的操作存在，两人互相抵消影响，这样答案肯定更优假设第i个人原有ai枚金币，向他右手边的小伙伴递了bi枚金币(为负数说明拿了-bi枚)那么可以列出n个方程看似是一个n元一次方程组，其实有一个方程是多余的，n个方程左右相加就看出来了= =

也就是说，我们现在有n个未知数和n - 1个方程，没办法求出所有未知数,但是初中老师教育过我们。这东西还是能够表示出任意两个变量的关系的随意去掉第i个方程，剩下n - 1个方程左右相加，整理一下，，这里g是所有金币的平均值，也就是每个人最后要拥有的金币数量假设我们知道bn，那所有剩下的bi都能写成bn + k的形式，利用上式递推即可

我们的目的，是让最小，现在能用一个单一变量bn表示出所有bi，假设把这样的所有k放到一条数轴上，|bn - ki|的几何意义就是bn到ki的距离了。怎么让这样的距离和最小？取个中位数即可。

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 1E5 + 10;

int n,tot,g,a[maxn];
LL Ans,dt[maxn];

int main()
{    
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
        scanf("%d",&a[i]),tot += a[i];
    g = tot / n;
    for (int i = n - 1; i; i--) 
        dt[i] = dt[i+1] - 1LL*(a[i+1] - g);
    sort(dt + 1,dt + n + 1);
    int mid = (1 + n) >> 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        Ans += 1LL*abs(dt[mid] - dt[i]);
    cout << Ans;
    return 0;
}