三种初步简易的方法求解数值问题 of C++

1. “二分法解方程”

　　在二分法中，从区间[a,b]开始，用函数值f(a)与f(b)拥有相反的符号。如果f在这个区间连续，则f的图像至少在x=a,x=b之间穿越x轴一次，因此方程f(x)=0在[a,b]之间至少有一个解，通过逐步对[a,b]区间进行二分处理，选取在那一部分改变了符号，逐步缩小方程解的更小区域。

/************************************************************************/
/*二分法 解方程                                                          */
/************************************************************************/
double fun001(double x);
int main() 
{
    double acurace;
    cout << "请输入精度：eg(0.00001)";
    cin >> acurace;
    double left, right;
    do  
    {
        cout << "请输入有效的预期值的边界：";
        cin >> left >> right;
    } while (fun001(left) * fun001(right) >= 0.0);
    double width = right - left,
        midPt,funMidVal;


    //求解
    while (width/2 > acurace)
    {
        midPt = (left + right) / 2.0;
        funMidVal = fun001(midPt);
        if (fun001(left) * funMidVal < 0.0)
        {
            right = midPt;
        } 
        else
        {
            left = midPt;
        }
        width /= 2.0;
    }

    cout << "二分法获取的方程的值是：" << midPt << endl;

}

　　还可以使用Newton-Raphson（牛顿-拉弗森）方法，对方程问题进行求解；

2.“逼近区域的面积”求数值积分问题

　　一个常用的方法是，使用n-1个等距离的点x1、x2··· xn-1将区间[a,b]划分为n个等间隔的子区域，每个子区域的匡杜dealtaX = （b-a）/n。则对于曲线上的相应的点，使用线段链接相邻的点行程n个梯形。

　　这些梯形的面积之和约定于曲线f（x）在区间[a,b]下的积分，使用梯形面积公式可以计算第i个梯形的面积为：((f(xi-1) + f(xi))* dealtaX)/2;

　　将这些值相加整理的：dealtaX * (( y0 + yn)/2 + y1 + y2 + y3 ... + yn-1);

/************************************************************************/
/*       近似积分梯形法求解积分问题                                     */
/************************************************************************/

double funJiFen(double x);
int main() 
{
    int n;
    cout << "enter 需要对所积分的曲线划分成多少份 （n）";
    cin >> n;
    double a,b,deltaX, x,y,sum;
    cout << "请输入所要积分的边界：（a）（b）";
    cin >> a >> b;
    deltaX = (b - a)/n;
    sum = 0;
    x = a;
    for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
    {
        x += deltaX;
        y = funJiFen(x);
        sum += y;
    }
    sum = deltaX * ((funJiFen(a) + funJiFen(b))/2 + sum);
    cout << "在分成" << n << "等分的积分面积"<< sum << endl;

}

　　还可以使用：Simpson方法，这种方法思想是使用“抛物线代替梯形”求取面积；

3. 求解微分方程求解问题

　　微分方程的定义：包含导数或者微分的方程称为微分方程；

　　使用Euler（欧拉）方法求解微分方程

　　给定一阶微分方程：y' = f(x,y);

　　初始条件：y(x0) = y;

　　在某个区间[a,b]且a = x0; (1) 选择x的增量dealtaX,(2)对n= 0,1,2,3...完成以下步骤：

　　　　(i) 设xn+1 = xn + dealtaX;

　　　　(ii) 通过点Pn（xn, yn）,斜率为 f(xn,yn)的直线上找到点P(xn+1, yn+1)，即求出下一点的横坐标yn+1，可以作为点xn+1在原函数的近似值；

　　　　(iii)重复以上操作，知道在特定点即可获取微分方程问题；

　　还可以利用更精确的方法求解微分方程问题，这里仅仅提供一种最简单的求解思路！